Edward Nelson dice que la aritmética de Peano es inconsistente. La aritmética de Peano es nuestro intento más popular (en pie desde 1889) de listar de manera comprimida las leyes formales que regulan los números naturales. El teorema de incompletitud de Gödel implica que todo (¡todo!) intento de este tipo está destinado al fracaso de una de dos maneras posibles: la primera opción (la buena) es que nuestra colección sea incompleta y existan afirmaciones que no sean verdaderas ni falsas de acuerdo a los axiomas (i.e. que no se desprendan de ellos ni los contradigan). La segunda opción (la mala) es que la colección de reglas engendre una contradicción. Por supuesto, se esperaba que los axiomas propuestos por Peano fuesen simplemente incompletos, pero ahora Nelson asegura, como si fuera cualquier cosa, como si anunciara que su nieto necesita gafas, que implican una contradicción. En un documento disponible en su página web, Nelson describe su argumento a grandes rasgos. A continuación cito un párrafo:

If this were normal science, the proof that P is inconsistent could be written up rather quickly. But since this work calls for a paradigm shift in mathematics, it is essential that all details be developed fully. At present, I have written just over 100 pages beginning this. The current version is posted as a work in progress at http://www.math.princeton.edu/ ̃nelson/books.html, and the book will be updated from time to time. The proofs are automatically checked by a program I devised called qea (for quod est absurdum, since all the proofs are indirect). Most proof checkers require one to trust that the program is correct, something that is notoriously difficult to verify. But qea, from a very concise input, prints out full proofs that a mathematician can quickly check simply by inspection. To date there are 733 axioms, definitions, and theorems, and qea checked the work in 93 seconds of user time, writing to files 23 megabytes of full proofs that are available from hyperlinks in the book.

Muy probablemente la demostracion de Nelson es incorrecta (de no serlo implicaría un cambio radical de paradigma en la base misma de la matemática), pero sus motivaciones y metodologías bien valen la atención.