Con el teorema del valor medio es sencillo demostrar que $$e^x>x+1$$ para todo $x > 0$. Pero no es inmediato. A los estudiantes sin experiencia previa les cuesta muchísimo seguir argumentos que no están encadenados por igualdades o donde sea necesario tomar elecciones y confeccionar funciones. En cambio, si se conoce la representación con series de potencias de $e^x$ el problema se disuelve por completo, pues la serie de potencias de $e^x-x-1$ resulta ser $$\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!},$$ que es claramente positiva para $x>0$.

Otro: intente demostrar que $$\int_1^\infty \frac{e^{-x^2}}{x}\, dx$$ converge. Sin series de potencias, el camino más sencillo es una comparación con algo como $$\int_1^\infty xe^{-x^2}\, dx.$$ Con series de potencias, creo, llegar a la conclusión toma una línea de cálculos directos más una nota, si acaso, explicando por qué se puede integrar término a término la serie.

Otro más (y un clásico): evalúe $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

No deja de sorpenderme la cantidad de problemas de cálculo elemental con pretensión conceptual que se vuelven mecanizables hasta que parecen casi vacíos con tres series de potencias bien recordadas y un par de teoremas no muy complicados sobre la solidez (bajo manipulaciones varias) de sus respectivas convergencias.