Andrés Villaveces soltó en twitter este ejemplo de una función cuyo gráfico tiene una apariencia bastante aburrida y suave pero en la segunda derivada se enloquece: $$f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^54\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$$

No sé de dónde lo sacó.

Aquí un cuaderno de iPython (cada vez me gustan más) utilizando Sympy (sus debilidades a la hora de integrarse con numpy me dejaron algo insatisfecho, por cierto) para entender mejor lo que pasa. Santiago Ortiz sugirió que la clave del fenómeno es el $k^5$ en el denominador. Según él, su presencia “permite que haya muchísimas oscilaciones de alta frecuencia pero de muy baja amplitud”. Luego de jugar con las funciones no me queda del todo claro: si en lugar de $k^5$ ponemos un $k^3$ la curva original todavía es suave pero ya la primera derivada luce bastante ruidosa. Por otro lado, si en lugar de $k^5$ ponemos, digamos, $k^{10}$, las tres gráficas se suavizan. La vaina es bien sutil.

Aquí la función es $f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^34\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$