Hace unos días alguien en Twitter preguntó si un número (natural) de la forma $2^m$ (con $m$ natural) podía ser múltiplo de $3$. Creo que el contexto de la pregunta era la división (real) entre tres personas de un par de brownies (alucinógenos, muy probablemente). Para mí la respuesta era “obvio que no” con tono displicente y gruñido. La pregunta, desde mi perspectiva, era inaceptable. Me costaba entender por qué alguien podía preguntar algo tan flagrantemente evidente. Así que durante el día, angustiado por la existencia de la pregunta, estuve haciéndosela a varias personas en el trabajo y en la calle para ver cómo reaccionaban y qué decían mientras intentaban resolverla (en el fondo aspiraba a compartir mi indignación), y lo que descubrí es que la pregunta tiene sentido porque aparentemente (por razones que se me escapan) el teorema fundamental de la aritmética no es parte de la cultura general, y la verdad es que el teorema fundamental de la aritmética no es para nada obvio pese a rondar nuestro conocimiento colectivo desde hace como dos mil cuatrocientos años.

El teorema fundamental de la aritmética (inicialmente formulado por Euclides por allá en el menos 350 y después, si uno le cree a wikipedia en estos tiempos de post-verdades, modernizado por Gauss hacia 1800) dice que si uno agarra un número natural y lo representa como una multiplicación de números primos solo hay una forma de hacerlo. Lo que confunde es que si uno descompone un número natural como una multiplicación de otros números naturales, sin exigir que sean primos, puede haber muchas formas de hacerlo. Ejemplo: $$ 36 = 12 \times 3 = 6 \times 6 = 4 \times 9. $$ En cambio si se exige que sean solo primos deja de haber varias opciones (salvo por el orden de los factores que, como se sabe, no altera el producto): $$ 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2.$$ Una vez este hecho es digerido la respuesta a la pregunta resulta obvia: $2^m$ es un producto de primos (todos iguales a $2$) y esa descomposición, como sabemos, es única. Si fuera un múltiplo de tres entonces uno de sus factores primos tendría que ser necesariamente $3$, pero todos son $2$. Imposible. Supongo que se puede expandir a mayor nivel de detalle pero esa es la línea principal del argumento. El punto importante es que sin teorema fundamental de la aritmética la pregunta es, sin duda, difícil.

Podría decirse que el teorema fundamental de la aritmética es la razón por la que los números primos son importantes: demuestra que son bloques mínimos de construcción (multiplicativa) de números naturales; una suerte de base sobre la que se pueden armar (de forma única) todos los demás. Exagerando un algo, si se entiende el comportamiento de los primos se entiende de paso todo lo demás. El lío es que entender los primos requiere resolver, de camino, preguntas complicadísimas, como esta, así que aunque simplifican la tarea de entender lo que se puede hacer o no con números naturales, no la trivializan. El reto sigue siendo gigantesco.