Dice Hamkins que cualquier persona educada que se respete debería ser capaz de demostrar que la raíz cuadrada de dos es un número irracional. Problema (ya discutido): la educación formal establecida no incluye al teorema fundamental de la aritmética en sus bases. A continuación muestro por qué ese problema dificulta (en realidad menos de lo que creía (ver adenda al final)) el sueño loable de Hamkins.

Digamos que la raíz cuadrada de dos es racional. Esto es, existen dos números naturales $a$ y $b$ sin factores en común (es decir, simplificando la fracción tanto como sea posible) tal que $$\sqrt{2} = \frac{a}{b}.$$

Esto implica, en particular, que $$2 = \frac{a^2}{b^2}$$ y esto a su vez nos lleva a que $$2b^2 = a^2.$$

Ahora, fíjese que esto implica que $a^2$ es un número par y por ende $a$ también tiene que ser un número par. ¿Por qué? Porque el teorema fundamental de la aritmética lo exige: supongamos que $2$ divide a $a^2$ pero $2$ no divide a $a$. Lo segundo implica que la descomposición prima de $a$ (¡que es única!) no cuenta con $2$ entre sus factores. Pero si esto es así, la descomposición prima de $a^2$, que dado que es única tiene que ser producto de cuadrados de la descomposición prima de $a$ tampoco podría tener al número $2$ entre sus factores. De ahí se desprende que $a$ es par. A partir de aquí es pura cuestión de dejarse caer: si $a$ es par, entonces $a = 2c$ para algún número $c$, pero si esto es así, volviendo a la igualdad de más arriba, se concluye que $$2b^2 = 4c^2$$ y de ahí llegamos a que $$ b^2 = 2 c^2.$$ ¡Es decir que $b$ también es un número par (de nuevo gracias al teorema fundamental de la aritmética)! Pero esto contradice nuestra condición inicial de que $a$ y $b$ fueron elegidos sin factores en común, de donde nos vemos forzados a aceptar que no hay una representación racional de la raíz cuadrada de dos.

Hay otras rutas para concluir lo mismo, pero esta es probablemente la menos exigente. Y pasa por el teorema fundamental de la aritmética, ese lamentable bache inmenso en nuestro arsenal cultural compartido.

(Estaba equivocado (actualización horas más tarde): como apunta Andrés en los comentarios, hay una ruta menos exigente aún: si $a$ no es par, es decir, es un número de la forma $2c+1$, entonces $$a^2 = 4c^2+4c+1 = 2(2c^2 + 2c) + 1,$$ también impar. Por tanto, si $a^2$ es par, $a$ necesariamente también debe serlo. El sueño de Hamkins tiene esperanza.)