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aritmética

Irracional

Dice Hamkins que cualquier persona educada que se respete debería ser capaz de demostrar que la raíz cuadrada de dos es un número irracional. Problema (ya discutido): la educación formal establecida no incluye al teorema fundamental de la aritmética en sus bases. A continuación muestro por qué ese problema dificulta (en realidad menos de lo que creía (ver adenda al final)) el sueño loable de Hamkins.

Digamos que la raíz cuadrada de dos es racional. Esto es, existen dos números naturales $a$ y $b$ sin factores en común (es decir, simplificando la fracción tanto como sea posible) tal que $$\sqrt{2} = \frac{a}{b}.$$

Esto implica, en particular, que $$2 = \frac{a^2}{b^2}$$ y esto a su vez nos lleva a que $$2b^2 = a^2.$$

Ahora, fíjese que esto implica que $a^2$ es un número par y por ende $a$ también tiene que ser un número par. ¿Por qué? Porque el teorema fundamental de la aritmética lo exige: supongamos que $2$ divide a $a^2$ pero $2$ no divide a $a$. Lo segundo implica que la descomposición prima de $a$ (¡que es única!) no cuenta con $2$ entre sus factores. Pero si esto es así, la descomposición prima de $a^2$, que dado que es única tiene que ser producto de cuadrados de la descomposición prima de $a$ tampoco podría tener al número $2$ entre sus factores. De ahí se desprende que $a$ es par. A partir de aquí es pura cuestión de dejarse caer: si $a$ es par, entonces $a = 2c$ para algún número $c$, pero si esto es así, volviendo a la igualdad de más arriba, se concluye que $$2b^2 = 4c^2$$ y de ahí llegamos a que $$ b^2 = 2 c^2.$$ ¡Es decir que $b$ también es un número par (de nuevo gracias al teorema fundamental de la aritmética)! Pero esto contradice nuestra condición inicial de que $a$ y $b$ fueron elegidos sin factores en común, de donde nos vemos forzados a aceptar que no hay una representación racional de la raíz cuadrada de dos.

Hay otras rutas para concluir lo mismo, pero esta es probablemente la menos exigente. Y pasa por el teorema fundamental de la aritmética, ese lamentable bache inmenso en nuestro arsenal cultural compartido.

(Estaba equivocado (actualización horas más tarde): como apunta Andrés en los comentarios, hay una ruta menos exigente aún: si $a$ no es par, es decir, es un número de la forma $2c+1$, entonces $$a^2 = 4c^2+4c+1 = 2(2c^2 + 2c) + 1,$$ también impar. Por tanto, si $a^2$ es par, $a$ necesariamente también debe serlo. El sueño de Hamkins tiene esperanza.)

Indecisión

La paradoja de Monty Hall es un ejemplo clásico de contraintuitividad de la noción de probabilidad. En un programa de concurso presentado por Monty Hall, el concursante debe elegir una de tres puertas posibles. Detrás de una de las tres puertas se oculta un premio. Las otras dos puertas conducen al vacío. El concursante elige una de las tres puertas de acuerdo a su intuición extrasensorial pero luego, antes de revelar el premio, Monty Hall abre una de las otras dos puertas restantes y detrás de ella no hay nada (sea lo que sea que haya elegido el jugador, siempre puede hacer esto). Una vez ahí, para amplificar el drama, Hall le pregunta al jugador si quiere cambiar de puerta. Sorprendentemente, aceptar la propuesta de Hall es la mejor estrategia.

¿La razón? Una manera sencilla de verlo es imaginar dos jugadores. Ambos inicialmente eligen la misma puerta pero mientras el primero se sostiene en su decisión el segundo no. El primero gana si la primera puerta elegida oculta el premio, es decir, tiene una probabilidad en tres. Note, además, que ese es precisamente el único caso (de tres) en el que el segundo pierde. O sea, el segundo gana con una probabilidad de dos tercios. La liberación de información aparentemente vacía beneficia al segundo jugador.

La pseudomoraleja para la vida de la paradoja de Monty Hall es intrigante: si usted enfrenta más de dos alternativas dudosas y una vez la decisión ha sido tomada pero antes de ejecutarla alguien o algo le ofrece una demostración concluyente de que otra opción (una que ya había descartado con duda) debía ser sin duda descartada, conviene desechar (o al menos reconsiderar) la decisión tomada.

Por eso yo nunca decido nada. Prefiero esperar a que todo se descarte por su propio peso.