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Raíces

Las raíces anidadas (o contínuas) son sucesiones de términos de la forma: $$S_k = \sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_k}}}}.$$ Como es usual, si $S_k$ converge a $L$, entonces decimos que $$L=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_n+\cdots}}}}.$$

El ejemplo típico es $a_i=1$ para todo $i$. En ese caso se obtiene la expresión $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}.$$ Si sabemos que esta raíz anidada es convergente (hay varios métodos para concluir esto) y suponemos que su límite es $L$ entonces $$L=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}=\sqrt{1+L},$$ de donde se desprende que $L^2=1+L$ y por ende $$L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Cuando Ramanujan empezó a hacer matemática, enviaba preguntas a la revista de la sociedad matemática india. En 1911 propuso como problema encontrar el valor de $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}.$$ Esta es una raíz anidada donde (si no estoy mal) $a_1 = 1$ y $a_n=(n a_{n-1} )^2$ (para $n\geq 2$).

Un año más tarde, Ramanujan envió esta solución a la misma revista:

Primero que todo, defina $f(n)=n(n+2)$. Ahora note que $$\begin{eqnarray*} f(n) & = & n \sqrt{(n+2)^2} \\ & = & n\sqrt{n^2+4n+3+1} \\ & = &n\sqrt{1+(n+1)(n+3)} \\ &=& n\sqrt{1+f(n+1)}.\end{eqnarray*}$$ Por tanto, recursivamente, $$\begin{eqnarray*} f(n) &=& n\sqrt{1+f(n+1)}\\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}} \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}} \\ &=& \cdots \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}. \end{eqnarray*}$$

Cuando $n=1$, obtenemos $$f(1)= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}},$$ que es precisamente el valor que estamos buscando. Y sabemos que, por definición, $f(1) = 1 (1+2) = 3$.

Este es un problema difícil con una solución muy sencilla de presentar y apta para (casi) todo público. Mi duda didáctica es qué tanto se puede ofrecer como ayuda sin entregar la respuesta. O mejor: en qué punto la solución se vuelve de repente evidente (para un estudiante promedio de primer año de universidad, digamos).

Adenda: En el segundo ejercicio de esta tarea del curso de cálculo que dicté el verano pasado puse a los estudiantes a explorar la convergencia de otra de las famosas fórmulas de Ramanujan (creo que el problema proviene del libro de Spivak). El tercer apartado tomó mucho más trabajo del que pensaba. Tuve que ayudarles un poco a organizar los cálculos.

Funciones que se rompen

Andrés Villaveces soltó en twitter este ejemplo de una función cuyo gráfico tiene una apariencia bastante aburrida y suave pero en la segunda derivada se enloquece: $$f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^54\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$$

No sé de dónde lo sacó.

Aquí un cuaderno de iPython (cada vez me gustan más) utilizando Sympy (sus debilidades a la hora de integrarse con numpy me dejaron algo insatisfecho, por cierto) para entender mejor lo que pasa. Santiago Ortiz sugirió que la clave del fenómeno es el $k^5$ en el denominador. Según él, su presencia “permite que haya muchísimas oscilaciones de alta frecuencia pero de muy baja amplitud”. Luego de jugar con las funciones no me queda del todo claro: si en lugar de $k^5$ ponemos un $k^3$ la curva original todavía es suave pero ya la primera derivada luce bastante ruidosa. Por otro lado, si en lugar de $k^5$ ponemos, digamos, $k^{10}$, las tres gráficas se suavizan. La vaina es bien sutil.

Aquí la función es $f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^34\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$

La meticulosa confección del asombro

Lo siguiente parece sadismo, pero en realidad es didáctica afilada.

En su segunda tarea del curso, recién iniciados en el arte sutil de las sucesiones y las series, los estudiantes recibieron la misión de calcular el límite de $$\sum_{n=1}^\infty nx^n,$$ para $|x|<1$. En este momento, el único método a su disposición es la fuerza bruta: calcular sumas parciales y rezarle con convicción a Shiva, también llamado El Destructor, para que los guíe. Con un poco de esfuerzo, sin embargo, la estrategia utilizada con la serie geométrica general da resultado. Para estudiantes de primer año con un curso de cálculo diferencial de bajísimo nivel, este es un ejercicio medianamente complicado. Es frustrante y puede ser confuso si la notación no es cuidadosa. Por lo mismo, su conquista es gratificante. El ejercicio está en la tarea para garantizar el sufrimiento lúdico que requiere por definición un cálculo "de honores". También está ahí para crear el momento dramático de esta semana y, tal vez, la ansiada sensación de ganancia. Hoy, usando la recién demostrada prueba de la razón para convergencia absoluta de series, es fácil ver que la serie de arriba converge absolutamente para $|x|<1$ (y diverge en otro caso). Una vez ahí les recordé que la prueba de convergencia no nos dice nada sobre el valor de la serie pero que, afortunada o desgraciadamente, esa es su tarea para este miércoles. Mañana definiré las series de potencias y jugaré con radios de convergencia. Al final enunciaré sin demostración (tal vez refiera al Spivak a los curiosos) el resultado que reza que una serie de potencias puede ser derivada (o integrada) término a término en su intervalo de convergencia. El miércoles, luego de que entreguen la tarea, como una manera de ilustrar la representación de funciones utilizando series de potencias, tomaré la bien conocida $$\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x},$$ para $|x|<1$. Luego, como si fuera cualquier cosa, calcularé la derivada a ambos lados y multiplicaré por $x$. Me van a odiar.

Examen (antes y después)


Lunes

Me pregunto si alguien lee esto e inmedatamente me pregunto si lo leería de no ser yo. Probablemente no. Probablemente no me interesaría. Sobrevolaría los párrafos, tal vez, y leería las entradas breves. Hoy recolecté seis huevos. Una de las gallinas, la negra, está enferma. Tiene gripa, parece. Llamamos al veterinario y nos recomendó aislarla del resto para prevenir una epidemia. No sabemos dónde ponerla. Alguien propuso que la matáramos e hicéramos un caldo. Aparentemente acá nadie ha escuchado hablar de la gripa aviar. Creo que la llevaré al sótano y la encerraré en una de las jaulas. No sé para qué tendrán esas jaulas. Son grandes, de metal, cada una con un buen candado. Un perro grande cabría sin problema, o incluso una persona sentada. El sótano no es un lugar que me guste visitar.

A medio día me reuní con los estudiantes. Les hablé del examen final. Intenté resumir en cuarenta minutos las herramientas más importantes que discutimos durante el primer mes. No me pareció productivo. Intentaré algo distinto el miércoles. Tal vez ejemplos. Tal vez preguntaré más y responderé menos.

Mañana continuaremos refinando nuestra definición de σ-variedad, cada vez más lejos de la definición natural propuesta por Anand y Piotr. Queremos demostrar que todo conjunto definible sin cuantificadores y finito-dimensional en un modelo de ACFA es isomorfo a los puntos sharp de una σ-variedad. El objetivo es encontrar el contexto más general posible donde podamos hablar de ecuaciones de diferencias no lineales y teoría de Galois.

Lunes

Día larguísimo. El domingo me acosté temprano porque tenía fiebre. Como me acosté temprano, estaba despierto a las 4:30. Luego de responder correos y leer prensa, me preparé para salir. La fiebre, a las seis, había bajado un poco. Desayunamos arepa y batido de aguacate. Antes de irme me tomé un dólex. Dormí profundo en el tren junto a un muchacho que leía la novela en la que se basa la serie Dexter. Llegué a las 10 a la universidad. Preparé mi clase del día (Tema: introducción a las series de Taylor), trabajé un poco en lo que estamos haciendo con Rahim y Ómar y luego fui a dictar. Todo iba bien hasta que descubrí que la idea de que una serie de Taylor de una función dada no coincida con la función, que es necesario verificar algo, implica cierto esfuerzo conceptual no trivial para el neófito. Al cierre de la lección predominaban las caras de confusión. Los dejé en manos del formulario de evaluación de mi trabajo y con la promesa de regresar el miércoles con más (y más) ejemplos. Espero que no me evalúen por el contenido de la clase de hoy. Por la tarde, después de almorzar (un pollo al limón delicioso con arroz cocinado en leche que Mónica atribuye a una “tradición saudí”), estuve preparando mi charla para mañana en McMaster. Avancé un poco, continué en el tren y terminé en la casa luego de comer. Ojalá que les guste. Es un panorama de mi trabajo previo, pero también mencionaré brevemente lo que estamos haciendo ahora y cerraré con mi aplicación soñada a la teoría de ecuaciones diferenciales p-ádicas que me torturó en Lyon pero que todavía, en contra de todo, me sigue pareciendo inspiradora. Es la 1:11 del martes. Estoy cansado. Mañana (hoy) a las 11:30 salgo para Hamilton.

Lunes

Despierto a las cuatro. Creo que tenía un mal sueño. Recuerdo que salía Mercedes. A las cuatro y cuarenta y cinco me levanté y me bañé. Luego volví a la cama e intenté leer noticias. A las seis y media me vestí. Tomamos café y pasteles dulces de arroz rellenos de fríjol de desayuno. En el episodio de ayer de Bob’s Burgers la hija mayor, Tina, cumple trece años y quiere una fiesta de cumpleaños donde pueda besar a su vecino. Bob no tiene dinero para organizar una fiesta así que acepta un empleo nocturno como taxista. Durante sus jornadas nocturnas conoce a un grupo variopinto de personajes que incluye un trío en prostitutas transexuales a las cuales sirve incidentalmente de proxeneta. El día del cumpleaños de Tina, su último día de trabajo como taxista, Bob cierra la jornada nocturna tomando cerveza y fumando crack con sus amigas. Luego llega al restaurante y duerme todo el día en la cocina.

La mujer al lado mío lee Re-reading Harry Potter. Parece una colección de artículos académicos. La lista de bibliografía al final es extensa. Hoy en clase hablaré del criterio de comparación de series para decidir si una serie converge o diverge. El viernes hablé del método que recurre a utilizar la integral de la función correspondiente. No me parece que sean temas muy iluminadores ni útiles para cerrar un curso de matemáticas que probablemente será el último curso de matemáticas que la mayoría de mis estudiantes tomen en la universidad. De cierta manera contradicen la idea, expresada por el coordinador del curso al principio del semestre, de que el propósito del curso es que los estudiantes se familiaricen con herramientas sin profundizar demasiado en los conceptos subyacentes. Me gustaría poder presentar la convergencia o divergencia de series de una manera divertida, pero creo que ni siquiera yo estoy convencido de su interés a este nivel. Cuando era un estudiante y tomé este curso, esta sección fue una de las más aburridas y desmotivantes del semestre. Sólo hasta un curso de análisis posterior logré apreciar su valor.