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Funciones que se rompen

Andrés Villaveces soltó en twitter este ejemplo de una función cuyo gráfico tiene una apariencia bastante aburrida y suave pero en la segunda derivada se enloquece: $$f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^54\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$$

No sé de dónde lo sacó.

Aquí un cuaderno de iPython (cada vez me gustan más) utilizando Sympy (sus debilidades a la hora de integrarse con numpy me dejaron algo insatisfecho, por cierto) para entender mejor lo que pasa. Santiago Ortiz sugirió que la clave del fenómeno es el $k^5$ en el denominador. Según él, su presencia “permite que haya muchísimas oscilaciones de alta frecuencia pero de muy baja amplitud”. Luego de jugar con las funciones no me queda del todo claro: si en lugar de $k^5$ ponemos un $k^3$ la curva original todavía es suave pero ya la primera derivada luce bastante ruidosa. Por otro lado, si en lugar de $k^5$ ponemos, digamos, $k^{10}$, las tres gráficas se suavizan. La vaina es bien sutil.

Aquí la función es $f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^34\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$

La meticulosa confección del asombro

Lo siguiente parece sadismo, pero en realidad es didáctica afilada.

En su segunda tarea del curso, recién iniciados en el arte sutil de las sucesiones y las series, los estudiantes recibieron la misión de calcular el límite de $$\sum_{n=1}^\infty nx^n,$$ para $|x|<1$. En este momento, el único método a su disposición es la fuerza bruta: calcular sumas parciales y rezarle con convicción a Shiva, también llamado El Destructor, para que los guíe. Con un poco de esfuerzo, sin embargo, la estrategia utilizada con la serie geométrica general da resultado. Para estudiantes de primer año con un curso de cálculo diferencial de bajísimo nivel, este es un ejercicio medianamente complicado. Es frustrante y puede ser confuso si la notación no es cuidadosa. Por lo mismo, su conquista es gratificante. El ejercicio está en la tarea para garantizar el sufrimiento lúdico que requiere por definición un cálculo "de honores". También está ahí para crear el momento dramático de esta semana y, tal vez, la ansiada sensación de ganancia. Hoy, usando la recién demostrada prueba de la razón para convergencia absoluta de series, es fácil ver que la serie de arriba converge absolutamente para $|x|<1$ (y diverge en otro caso). Una vez ahí les recordé que la prueba de convergencia no nos dice nada sobre el valor de la serie pero que, afortunada o desgraciadamente, esa es su tarea para este miércoles. Mañana definiré las series de potencias y jugaré con radios de convergencia. Al final enunciaré sin demostración (tal vez refiera al Spivak a los curiosos) el resultado que reza que una serie de potencias puede ser derivada (o integrada) término a término en su intervalo de convergencia. El miércoles, luego de que entreguen la tarea, como una manera de ilustrar la representación de funciones utilizando series de potencias, tomaré la bien conocida $$\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x},$$ para $|x|<1$. Luego, como si fuera cualquier cosa, calcularé la derivada a ambos lados y multiplicaré por $x$. Me van a odiar.