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didáctica

Raíces

Las raíces anidadas (o contínuas) son sucesiones de términos de la forma: $$S_k = \sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_k}}}}.$$ Como es usual, si $S_k$ converge a $L$, entonces decimos que $$L=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_n+\cdots}}}}.$$

El ejemplo típico es $a_i=1$ para todo $i$. En ese caso se obtiene la expresión $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}.$$ Si sabemos que esta raíz anidada es convergente (hay varios métodos para concluir esto) y suponemos que su límite es $L$ entonces $$L=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}=\sqrt{1+L},$$ de donde se desprende que $L^2=1+L$ y por ende $$L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Cuando Ramanujan empezó a hacer matemática, enviaba preguntas a la revista de la sociedad matemática india. En 1911 propuso como problema encontrar el valor de $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}.$$ Esta es una raíz anidada donde (si no estoy mal) $a_1 = 1$ y $a_n=(n a_{n-1} )^2$ (para $n\geq 2$).

Un año más tarde, Ramanujan envió esta solución a la misma revista:

Primero que todo, defina $f(n)=n(n+2)$. Ahora note que $$\begin{eqnarray*} f(n) & = & n \sqrt{(n+2)^2} \\ & = & n\sqrt{n^2+4n+3+1} \\ & = &n\sqrt{1+(n+1)(n+3)} \\ &=& n\sqrt{1+f(n+1)}.\end{eqnarray*}$$ Por tanto, recursivamente, $$\begin{eqnarray*} f(n) &=& n\sqrt{1+f(n+1)}\\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}} \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}} \\ &=& \cdots \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}. \end{eqnarray*}$$

Cuando $n=1$, obtenemos $$f(1)= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}},$$ que es precisamente el valor que estamos buscando. Y sabemos que, por definición, $f(1) = 1 (1+2) = 3$.

Este es un problema difícil con una solución muy sencilla de presentar y apta para (casi) todo público. Mi duda didáctica es qué tanto se puede ofrecer como ayuda sin entregar la respuesta. O mejor: en qué punto la solución se vuelve de repente evidente (para un estudiante promedio de primer año de universidad, digamos).

Adenda: En el segundo ejercicio de esta tarea del curso de cálculo que dicté el verano pasado puse a los estudiantes a explorar la convergencia de otra de las famosas fórmulas de Ramanujan (creo que el problema proviene del libro de Spivak). El tercer apartado tomó mucho más trabajo del que pensaba. Tuve que ayudarles un poco a organizar los cálculos.

Viernes (Examen)

Algunas ideas y preguntas sueltas: (1) A medida que la cobertura educativa aumenta, la educación (en especial la pública) se ve forzada, por simple falta de recursos (siempre serán pocos), a implementar procesos de industrialización de la labor didáctica. No me parece que haya nada malo en eso en principio pero: (2) ¿Cuál es el papel del maestro en este nuevo contexto donde el contacto directo con el estudiante es incidental y escaso? (3) ¿Cómo garantizar que la educación no pierda calidad en un sistema donde la proporción estudiantes/maestros es cada vez mayor? (4) Por lo pronto, la logística de la educación ha sido un problema lateral, algo que se deja (casi que) a discreción del maestro y en pocas ocasiones se explora con cuidado como comunidad. La idea burda es que una persona que dicta un curso para treinta personas debe ser capaz de adaptar su curso a un auditorio con doscientas. Se exige escalabilidad instantánea. ¿No sería conveniente, en aras de mantener niveles de enseñanza dignos, someter la logística de la enseñanza (y en particular el problema de escala) a un análisis cuidadoso en lugar de persistir en la improvisación? (Si hay investigación al respecto, no ha encontrado la manera de llegar a las aulas.) (5) ¿Cuál es el propósito de la educación universitaria? ¿Cuál es el aporte de la educación universitaria a la sociedad en pleno? ¿O es sólo un lujo? ¿Qué es lo que esperamos que un estudiante gane en las aulas? ¿Prestigio? ¿Disciplina? ¿Conocimiento? ¿Lenguaje? ¿Habilidades? ¿Sabiduría? ¿Resistencia? ¿Tolerancia? ¿Conciencia? ¿Responsabilidad? ¿Contactos? ¿Oficio? ¿Estatus? (6) ¿Qué es lo que realmente enseñamos (si es que enseñamos algo)? (7) No sobra preguntarse cuál es el sentido de ampliar ilimitadamente la cobertura universitaria. En sociedades como la colombiana una persona sin educación universitaria es indigna y está condenada al subempleo. La educación universitaria es un símbolo de casta. Es la diferencia, seamos crudos, entre ser esclavo o ser esclavista. Algunos promueven la idea de que, para generar movilidad social, la cobertura universitaria debe ser universal. Creo que esa es una solución falsa. Más importante que expandir la cobertura universitaria es expandir el número de opciones de acceder a un empleo y reducir, al tiempo, la estructura esclavista (¿cómo?). (8) Me preocupa el desprecio por la educación básica y la tendencia a creer que sus fallas se pueden reparar durante la etapa siguiente (si acaso). (9) La educación y la investigación deberían ser asuntos que se trataran aparte. El modelo de educadores/investigadores funciona y produce resultados en sociedades industrializadas o en una etapa alta del proceso de industrialización. Pero incluso en sociedades industrializadas este modelo pervierte el sistema. Es evidente que hay conexiones entre una labor y la otra, pero la pretensión de que son la misma cosa ha convertido los centros de enseñanza en lugares repletos de maestros que tienen a la educación como última prioridad aunque sea su misión principal. (10) Asisto al examen final de mis estudiantes en el coliseo de la universidad. Dos exámenes transcurren simultáneamente. El coliseo es dividido en zonas. Nos corresponden cinco de las diez. Somos ocho. El coordinador comanda el dispositivo cuyo objetivo principal es reducir la probabilidad de trampa. Somos nosotros contra ellos. Al final siempre se trató de esto. Setecientos estudiantes tomaron este curso. Ciento veinte asistieron a mi clase. Apenas sé el nombre de veinte o treinta. Reconozco a algunos más de cara, pero es difícil encontrarlos entre la multitud. Los veo entrar. Me gustaría saludarlos. Al cierre, mientras recibo los exámenes, un par se acercan y me dan las gracias por mi trabajo. Otro me dice que disfrutó mucho mi clase. No sé su nombre. Me pregunto, mientras los veo resolver las preguntas, qué aprendieron en este curso y cuál era su objetivo a largo plazo si es que había alguno. También me gustaría saber en qué consistió mi labor o, mejor, si lo que hice tendrá un impacto en su futuro o si perdieron su tiempo conmigo y esto hace parte de una farsa elaborada para otorgar un título (nobiliario) después de unos años. No creo que haya sido así. Espero que no sea así. Me esfuerzo por que no sea así, por que quede algo más. Por eso me cuesta entender que mi trabajo, todo mi trabajo, en últimas se reduzca a prepararlos (desde la distancia de mis lecciones masivas) para un examen de dos horas y media (el sesenta por ciento de su nota final) donde les pedirán, entre otras cosas, que deriven de dos maneras distintas el volumen de un mismo sólido de revolución. Eso sería una estafa. Eso no sería justo con ellos, sus aspiraciones y su dedicación. Eso no puede ser lo que está en juego aquí.

Miércoles

Atendí estudiantes de once a seis casi sin descanso. No vinieron muchos, pero cada visita duraba entre una hora y una hora y media, aunque se solapaban unos con otros. Un noventa por ciento de las preguntas son debidas a inseguridades o exceso de autoconfianza y casi ninguna a verdadera incomprensión. Cuando no hay suficiente práctica, es difícil medir la dificultad de los problemas y es frecuente que los estudiantes los consideren imposiblemente difíciles (y entonces no sepan qué hacer o les parezcan por fuera de su alcance) o increíblemente idiotas (en cuyo caso se preguntan por qué diablos eso es un problema y, peor, por qué su respuesta obvia y directa por simple sentido común no coincide con la respuesta del libro o con la, en comparación, complicadísima respuesta de un amigo). Parte de mi labor, he descubierto, consiste en guiarlos dentro de los problemas mucho más que a través de ellos y por otro lado convencerlos de que cuentan con muchísimas más herramientas para valorarlos y enfrentarlos que las que creen que tienen. Se siente, por momentos, como despertar un poder sobrenatural dormido del que no tienen conciencia. Ahora estoy en el tren y miro a una mujer frente a mí maquillarse compulsivamente por al menos treinta minutos. Su amiga la ayuda a sostener el espejo para las operaciones más delicadas, alrededor de los ojos. Aún no veo diferencia entre el antes y el después. Tal vez todavía no hemos llegado al después.

Lunes

Tormenta. Última clase del semestre. Qué aburrido es este diario. Nunca pasa nada. Nunca llegan los extraterrestres para rescatarnos y llevarnos a ese lugar mejor donde todos somos luz dirigida que fluye y se mezcla hasta transformarnos en una sola entidad múltiple e infinita. ¿Dónde están los extraterrestes? ¿Por qué no vienen? ¿Qué los detiene? Llevamos siglos esperándolos. Tengo algunos planes para las largas (si no eternas) vacaciones. El primero es montar la nueva versión de HermanoCerdo. Es algo que pensé en tener listo en enero pero finalmente fue imposible. También quiero traducir un cuento de Sergio de la Pava y una crónica de Heydar Radjavi. Por otro lado quiero retomar la escritura. Tengo varios proyectos pero son difusos. Tal vez lo más concreto es una novela juvenil sobre un niño con un primo enfermo un poco mayor que él que tiene poderes sobrenaturales. Pero también está esa premisa que vuelve y vuelve sobre las personas atrapadas, por la guerra, en un instituto de investigación científica en la periferia de una ciudad que a veces parece más bien un centro de reclusión psiquiátrica. Son ideas no más, con algunas notas y diagramas dispersos en cuadernos. Otra cosa que quiero escribir es un ensayo al respecto de la dimensión política del Princeton Companion to Mathematics. Es algo que discutí hace un año largo con Andrés pero nunca pude desarrollar.

La experiencia de dictar un curso para ciento treinta personas fue mucho más agradable de lo que hubiera pensado. Obviando la ansiedad constante previa a cada clase por culpa de mi miedo a hablar en público, el ejercicio de dictar este curso me hizo bien. Fue saludable e interesante. Me obligó a repensar mi relación con el tablero y, en general, el escenario de clase. La pedagogía a escala industrial requiere mucho más histrionismo que el que se requiere para grupos pequeños. Es necesario mantener la atención (Con grupos pequeños, al contrario, usualmente he optado por ofrecer atención individualizada mucho más que apostar por una atención grupal). Un problema que sentí, y que no pude solucionar, es que es terriblemente difícil recibir retroalimentación y mucho menos tener una conciencia clara de las dificultades que tienen los estudiantes. La comunicación es mayoritariamente unidireccional. Eso me frustra. También me hubiera gustado tener más control de la clase en general, pero, por otro lado, el hecho de que el curso contara con un supervisor me permitía desentenderme de una fracción de las labores administrativas tediosas que son necesarias para que estos cursos funcionen. Unas por otras.

Miércoles

Día largo. Interminable, casi. El tren de regreso a London se detuvo varias veces en el medio de la nada sin mayor explicación. Odio esos tiempos muertos. Me siento irrespetado como usuario del sistema. Pago lo suficiente como para que me garantizaran puntualidad. Al principio de la clase le entregué a los estudiantes una pequeña guía socrática que recorre con amabilidad los conceptos principales del curso que tal vez les sirva para estudiar para el examen. En algunos cursos que dicté en Urbana hacía eso cada semana. “Things you should know about life“, los llamaba. Incluía citas de libros de entrenamiento samurai o similares. Era mi época de obsesión compulsiva con el libro que Mishima escribió sobre el Hagakure. Hacer de golpe un resumen entero del curso me costó. Espero que lo aprecien. Dediqué la clase a proponer problemas de exámenes viejos y discutir cómo se harían, o al menos cuáles serían las herramientas principales para resolverlos. Fue provechoso y hasta entretenido. Continuaré proponiendo ejercicios el viernes. Mañana debo lavar ropa y cocinar por la tarde. Estoy cansadísimo.

Viernes

Terminé el temario del curso, escribí, en broma, THE END en uno de los tableros, y en respuesta mi pequeño auditorio secuestrado por cuatro meses estalló en un aplauso aliviado.

Sigo enfermo. Qué bueno que ya llegó el fin de semana.

Lunes

Día larguísimo. El domingo me acosté temprano porque tenía fiebre. Como me acosté temprano, estaba despierto a las 4:30. Luego de responder correos y leer prensa, me preparé para salir. La fiebre, a las seis, había bajado un poco. Desayunamos arepa y batido de aguacate. Antes de irme me tomé un dólex. Dormí profundo en el tren junto a un muchacho que leía la novela en la que se basa la serie Dexter. Llegué a las 10 a la universidad. Preparé mi clase del día (Tema: introducción a las series de Taylor), trabajé un poco en lo que estamos haciendo con Rahim y Ómar y luego fui a dictar. Todo iba bien hasta que descubrí que la idea de que una serie de Taylor de una función dada no coincida con la función, que es necesario verificar algo, implica cierto esfuerzo conceptual no trivial para el neófito. Al cierre de la lección predominaban las caras de confusión. Los dejé en manos del formulario de evaluación de mi trabajo y con la promesa de regresar el miércoles con más (y más) ejemplos. Espero que no me evalúen por el contenido de la clase de hoy. Por la tarde, después de almorzar (un pollo al limón delicioso con arroz cocinado en leche que Mónica atribuye a una “tradición saudí”), estuve preparando mi charla para mañana en McMaster. Avancé un poco, continué en el tren y terminé en la casa luego de comer. Ojalá que les guste. Es un panorama de mi trabajo previo, pero también mencionaré brevemente lo que estamos haciendo ahora y cerraré con mi aplicación soñada a la teoría de ecuaciones diferenciales p-ádicas que me torturó en Lyon pero que todavía, en contra de todo, me sigue pareciendo inspiradora. Es la 1:11 del martes. Estoy cansado. Mañana (hoy) a las 11:30 salgo para Hamilton.