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Raíces

Las raíces anidadas (o contínuas) son sucesiones de términos de la forma: $$S_k = \sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_k}}}}.$$ Como es usual, si $S_k$ converge a $L$, entonces decimos que $$L=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_n+\cdots}}}}.$$

El ejemplo típico es $a_i=1$ para todo $i$. En ese caso se obtiene la expresión $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}.$$ Si sabemos que esta raíz anidada es convergente (hay varios métodos para concluir esto) y suponemos que su límite es $L$ entonces $$L=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}=\sqrt{1+L},$$ de donde se desprende que $L^2=1+L$ y por ende $$L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Cuando Ramanujan empezó a hacer matemática, enviaba preguntas a la revista de la sociedad matemática india. En 1911 propuso como problema encontrar el valor de $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}.$$ Esta es una raíz anidada donde (si no estoy mal) $a_1 = 1$ y $a_n=(n a_{n-1} )^2$ (para $n\geq 2$).

Un año más tarde, Ramanujan envió esta solución a la misma revista:

Primero que todo, defina $f(n)=n(n+2)$. Ahora note que $$\begin{eqnarray*} f(n) & = & n \sqrt{(n+2)^2} \\ & = & n\sqrt{n^2+4n+3+1} \\ & = &n\sqrt{1+(n+1)(n+3)} \\ &=& n\sqrt{1+f(n+1)}.\end{eqnarray*}$$ Por tanto, recursivamente, $$\begin{eqnarray*} f(n) &=& n\sqrt{1+f(n+1)}\\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}} \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}} \\ &=& \cdots \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}. \end{eqnarray*}$$

Cuando $n=1$, obtenemos $$f(1)= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}},$$ que es precisamente el valor que estamos buscando. Y sabemos que, por definición, $f(1) = 1 (1+2) = 3$.

Este es un problema difícil con una solución muy sencilla de presentar y apta para (casi) todo público. Mi duda didáctica es qué tanto se puede ofrecer como ayuda sin entregar la respuesta. O mejor: en qué punto la solución se vuelve de repente evidente (para un estudiante promedio de primer año de universidad, digamos).

Adenda: En el segundo ejercicio de esta tarea del curso de cálculo que dicté el verano pasado puse a los estudiantes a explorar la convergencia de otra de las famosas fórmulas de Ramanujan (creo que el problema proviene del libro de Spivak). El tercer apartado tomó mucho más trabajo del que pensaba. Tuve que ayudarles un poco a organizar los cálculos.

Las series poderosas

Con el teorema del valor medio es sencillo demostrar que $$e^x>x+1$$ para todo $x > 0$. Pero no es inmediato. A los estudiantes sin experiencia previa les cuesta muchísimo seguir argumentos que no están encadenados por igualdades o donde sea necesario tomar elecciones y confeccionar funciones. En cambio, si se conoce la representación con series de potencias de $e^x$ el problema se disuelve por completo, pues la serie de potencias de $e^x-x-1$ resulta ser $$\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!},$$ que es claramente positiva para $x>0$.

Otro: intente demostrar que $$\int_1^\infty \frac{e^{-x^2}}{x}\, dx$$ converge. Sin series de potencias, el camino más sencillo es una comparación con algo como $$\int_1^\infty xe^{-x^2}\, dx.$$ Con series de potencias, creo, llegar a la conclusión toma una línea de cálculos directos más una nota, si acaso, explicando por qué se puede integrar término a término la serie.

Otro más (y un clásico): evalúe $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

No deja de sorpenderme la cantidad de problemas de cálculo elemental con pretensión conceptual que se vuelven mecanizables hasta que parecen casi vacíos con tres series de potencias bien recordadas y un par de teoremas no muy complicados sobre la solidez (bajo manipulaciones varias) de sus respectivas convergencias.