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geometría

Stan

Mi juguete favorito en el trabajo y por fuera del trabajo es Stan. Aquí un artículo introductorio recién publicado que se concentra en su interfaz de uso y aquí otro también reciente donde explican la intuición detrás de sus algoritmos de muestreo de distribuciones posteriores (la matemática asociada es, según he podido ver, bastante sofisticada). Durante este año quiero entender esa maquinaria mejor y si me da el tiempo intentar contribuir a alguno de sus proyectos circundantes.

Tercer triángulo

Dado un triángulo y un punto arbitrario dentro del triángulo, trace las perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por el punto elegido. Cada perpendicular corta uno de los lados en un punto. Use esos puntos para construir otro triángulo y repita el paso anterior usando el mismo punto. Así construirá un segundo triángulo. Si repite una vez más el procedimiento, obtendrá un tercer triángulo anidado. Se puede demostrar (Ejercicio: Demostrarlo) que este tercer triángulo es geométricamente semejante al triángulo inicial (es decir, el producto de transladarlo, rotarlo, reflejarlo y agrandarlo o achicarlo proporcionalmente — si sirve de algo, recuerde que dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos interiores). Aquí hay un ejemplo: Esto sale si su navegador necesita reconsiderar urgentemente su lugar en el mundo. Use Firefox o Chrome.

El triángulo rojo es semejante al triángulo negro. Con el mouse puede mover tanto los vértices del triángulo inicial como el punto interior para intentar convencerse de que la semejanza no depende ni del tipo de triángulo original ni del punto elegido.

Como mi javascript (aquí el código) es torpe, no he logrado encontrar una forma buena de evitar que el punto elegido quede fuera del triángulo (por cierto: si el punto se sale del marco, recargue (Ejercicio/Duda: ¿Cómo evitar que el punto abandone el marco?)). Sin embargo, jugando con él, noté que realmente el resultado es cierto incluso si el punto está afuera del triángulo inicial y la construcción se replantea usando las líneas que generan los lados del triángulo en lugar de los lados en sí (que es como lo había calculado, de cualquier modo). Haga la prueba: saque el punto del triángulo. Afuera del triángulo original el triángulo rojo crece aunque las limitaciones de espacio me impiden constatar si alcanza un tamaño máximo (o si sigue creciendo hasta obtener el tamaño del triángulo original en el límite, por ejemplo (o si crece ilimitadamente)). Si el punto se restringe de nuevo al triángulo original, hay un tamaño máximo posible para el tercer triángulo (Ejercicio: ¿Dónde se obtiene? ¿De qué depende? ¿Pasa lo mismo afuera?). Otra duda/ejercicio: ¿En qué puntos se logra que el tercer triángulo tenga exactamente la misma posición que el triángulo original (es decir, sólo transladado y escalado, sin rotarlo ni reflejarlo)?

Aparentemente, este fenómeno es cierto también para polígonos (asumo convexos (?)) de cualquier número de lados: con un polígono de N lados se requiere repetir el procedimiento N veces para obtener un polígono semejante al original. (Ejercicio: ¿Cuál es la demostración general?)

Encontré este resultado en Futility Closet, donde transcriben un poema de una tal Mary Pedoe que usa la construcción como inspiración:

Begin with any point called P
(That all-too-common name for points),
Whence, on three-sided ABC
We drop, to make right-angled joints,
Three several plumb-lines, whence ’tis clear
A new triangle should appear.

A ghostly Phoenix on its nest
Brooding a chick among the ashes,
ABC bears within its breast
A younger ABC (with dashes):
A figure destined, not to burn,
But to be dropped on in its turn.

By going through these motions thrice
We fashion two triangles more,
And call them ABC (dashed twice)
And thrice bedashed, but now we score
A chick indeed! Cry gully, gully!
(One moment! I’ll explain more fully.)

The fourth triangle ABC,
Though decadently small in size,
Presents a form that perfectly
Resembles, e’en to casual eyes
Its first progenitor. They are
In strict proportion similar.

Ejercicio: traducirlo.

Sin título [1977]

En alguna parte de esta novela alguien habla un cuadro que tiene un hueco en el centro. La mención parece casual pero tal vez no lo sea. Sin título [1977] se refiere al nombre de un cuadro imposible de pintar. Su sustancia, como un fantasma, atormenta a los miembros de una familia aristocrática bogotana consecuentemente disfuncional. Capa a capa, Posada revela en tres monólogos intercalados los ingredientes que componen el cuadro. El primer monólogo es el de un viejo atrapado en su demencia nostálgica. El segundo es el de su hija, la pintora del cuadro, quien en medio de una crisis matrimonial que parece definitiva asimila las razones reprimidas que la llevaron a distanciarse de su papá. Y el tercero, probablemente el mejor de los tres, el de un niño pequeño, el hijo mayor de la familia, que desde el pasado destapa los secretos escabrosos que prefiguran el momento perdido. El niño, devenido en detective sociosexual, carga el peso emocional de la trama. Los tres monólogos conforman en conjunto un triángulo de incomunicaciones donde cada personaje está hundido en su drama personal y están incapacitados, por sus circunstancias, por el pasado que comparten, añoran o viven, para expresar lo que sienten. Esta incapacidad insalvable determina sus vidas.

Nuestra historia de amor

En su blog, Arturo escribió sobre su relación de amor-odio con la matemática. Son cinco capítulos (1, 2, 3, 4 y 5). En el tercero (titulado Idilio) hay un breve cameo de mi yo más joven, socialmente inepto e idealista:

Con Javier montamos un grupo de estudio de geometría algebraica sin profesores. Pegamos avisos en el edificio de matemáticas citando a reuniones semanales. Logramos una convocatoria de tres personas: Javier, Oscar y yo. En los letreros nos escribieron cosas como “sapos reglados”. Quería tanto a las matemáticas, a mi nueva novia, que no tenía problema en compartirla con Javier y el malparido no fue capaz de darme un abrazo cuando se fue a hacer su doctorado hace ya más de diez años. No lo he visto desde entonces y no sé por qué lo quiero. No es que la gente del edificio de matemáticas de la Nacional se caracterice por sus grandes habilidades sociales tampoco.

A Arturo lo conocí dentro de ese contexto idílico, cuando estaba(mos) volcado(s) a aprender matemática con entusiasmo (aunque en la práctica yo le dedicara muchas más horas semanales a los juegos de rol). Nuestro primer curso juntos fue álgebra lineal. Acababa de regresar del ejército. Arturo era uno de los mejores del grupo junto a Javier (Solano) y Freddy (Hernández) (hoy ambos trabajan como profesores en universidades en Brasil). A partir de ahí vimos juntos al menos un curso por semestre por unos tres años (incluyendo uno inolvidable con Alonso Takahashi y también el curso de lógica donde conocimos a Andrés (Villaveces)) hasta que Arturo, de un momento para otro, desapareció. En su blog explica bien por qué. Yo lo sospechaba, pero él era muy reservado con respecto a su vida personal y creo que la consideraba de cierta manera incompatible con nuestra historia de amor amistad (asociada inevitablemente a estudiar heteronormativamente). Para el momento cuando me gradué de la universidad sabía muy poco de su paradero. Luego de que me fui retomó su trabajo final y se graduó. Varios años más tarde, ya en Estados Unidos, busqué información sobre él y encontré su dirección de correo electrónico en Los Andes, donde dictaba clase. Entonces le escribí. Hace unos trece años cortos que no lo veo en persona.

Finalmente aprendí los fundamentos de geometría algebraica en Urbana, en dos cursos muy regulares que me forzaron a las malas a hacer incontables ejercicios (estos sí muy provechosos) del libro de Hartshorne (en mi copia, el margen negro por el uso delimita claramente el cuarto escaso que avancé en ese libro) y un curso muy bueno que tomé tal vez demasiado tarde con Dror Varolin, donde miramos con mucho cuidado (y haciendo muchos cálculos iluminadores) las conexiones entre análisis complejo y curvas algebraicas (sospecho que de haberlo tomado más temprano me hubiera dedicado a la geometría compleja). En los intermedios leí capítulos del libro de curvas elípticas de Silverman y el libro de grupos algebraicos lineales de Humphreys, pero nunca le puse el suficiente empeño para avanzar más allá. Pese a todo eso, a estas alturas lo único que puedo acreditar es comprensión muy general de la terminología y maquinaria más básica. Eso sí, me sigue encantando.

Y los abrazos ya no me cuestan tanto.

Círculos y viajes

La vida se basa en la repetición de rutinas que describen órbitas no alrededor sino a través de puntos estables por intervalos de tiempo prolongados. Las transiciones de punto ancla son suaves. La niña nace y gira alrededor de la camilla donde está su mamá y luego es trasladada a un cuarto del que sale y entra a medida que las enfermeras administran evaluaciones, exámenes y baños. Un taxi nos trae al apartamento y el punto de referencia de su mundo se establece en la cama, entre mi almohada y la de Mónica, con viajes regulares a la sala, el baño, el consultorio del pediatra, el supermercado y el hospital. Ayer fuimos a Toronto, caminamos por el barrio coreano y luego bajamos a la avenida de la reina y dimos vueltas un poco más, con paso obligado por el barrio chino y el mercado de Kensington. La ciudad nos sienta bien. Hoy iremos a las cataratas de Niágara. Los círculos de Laia se expanden, cada vez más lejos de su centro primigenio. Algún día se alejará de nosotros también.

Máquina

El juego autoimpuesto era hacer una copia virtual sencilla del Drawing Apparatus de Robert Howsare usando Processing para jugar con las especificaciones.

En esta versión (burda) se pueden cambiar los colores del trazo con los primeros cuatro sliders. Con los dos siguientes se puede modificar la razón entre las velocidades de rotación y la razón entre los radios de los discos. El último slider controla el grosor del trazo (aparentemente, la calidad del trazo cambia dependiendo de la definición de la pantalla.) El botón de pausa detiene y desaparece la máquina para apreciar el dibujo. No he logrado encontrar una manera elegante de hacer una función para reiniciar, así que por lo pronto lo mejor es recargar la página. (Adenda (25/03): ahora la posición inicial del segundo disco es aleatoria. Así no siempre arranca con un círculo.)

Desgraciadamente, los computadores no conciben los números irracionales, así que (creo que) todas las trayectorias son periódicas (Ejercicio: demostrar).

Cielo

(Un coctel)