Rango Finito

fotoscódigoobservatorioshermanocerdo temas plots

Gödel

Contar hasta el final

Este artículo apareció en mayo en una revista que la Universidad Nacional distribuyó durante la feria del libro de Bogotá. Lo pego acá para conmemorar que el siete de diciembre de 1873 Cantor le escribió una carta a Dedekind donde demostraba que había más números reales que naturales (buena parte de la matemática de esa época (¡y hasta hace muy poco!) se oficializaba y desarrollaba en intercambios epistolares).

Números para contar y números para medir. Los primeros los aprendemos temprano, casi sin darnos cuenta, jugando con los dedos de las manos. A esos los llamamos números naturales. Los segundos son más misteriosos. A los griegos los obsesionaban. Un cuadrado que medía un metro por cada lado tenía una diagonal cuya magnitud en metros era de cierta manera imposible de atrapar: no era ni número natural ni división de números naturales. Era algo distinto. Lo mismo con el perímetro de un círculo de diámetro uno, que es a lo que ahora llamamos π. Había algo extraño con esos números pero aparecían sin esfuerzo por ahí, así que si algo estaba mal no eran ellos sino nuestra concepción ingenua de lo que los números podían ser. Por eso a los números para medir los llamamos números reales, porque son ineludibles. Si en una línea recta decidimos quién es cero y quién es uno, a cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

Los números naturales sirven para contar colecciones de cosas, también llamadas conjuntos. Basta asignar a cada cosa números naturales en orden hasta que se acaben las cosas o los números. Si se acaban las cosas, el último número que utilizamos nos dice cuántas son. Si se acaban los números, decimos que el conjunto es infinito, pero esta es una respuesta insatisfactoria. Sería ideal poder contar hasta el final. Eso es más difícil. Los números naturales no son suficientes. Necesitamos más.

Tomemos por ejemplo los números reales. Ahora intentemos contarlos. Agarremos números reales uno a uno y a cada número real asignémosle un número natural. Hagan el intento. ¿Será que si somos suficientemente cuidadosos podemos agotar los números reales contándolos con números naturales? A simple vista parecería que no. En la recta los números naturales son puntos aislados, muy pocos comparados con la multitud de puntos posibles. Pero tal vez haya una manera ingeniosa de emparejarlos, ¿por qué no? ¿Acaso cuántos infinitos hay?

Podría decirse que esa es la pregunta fundacional de la teoría de conjuntos, un área de la matemática que surgió con los trabajos de Georg Cantor a finales del siglo diecinueve.

Cantor quería contar aplicaciones repetitivas de un cierto procedimiento y notó preocupado que cuando se acababan los números naturales todavía existía la oportunidad de ejecutar el procedimiento una vez más. Tal vez otros habían llegado antes a la misma situación pero no se habían atrevido a dar el paso por puro vértigo. Cantor no dudó, y con este paso abrió la puerta a una serie de descubrimientos que revolucionaron la matemática y la filosofía de su tiempo.

Gracias a Cantor ahora sabemos que es imposible contar los números reales usando números naturales: tienen tamaños infinitos estrictamente distintos. También sabemos que hay infinitos tamaños infinitos, apilados unos sobre otros en una columna interminable que sirven para contar el tamaño de cualquier conjunto. Estudiamos los infinitos por lo mismo que estudiamos los árboles. Están ahí, no podemos ignorarlos.

Kurt Gödel es el niño sentado a la derecha.

Ese es apenas el principio de la historia. Los infinitos de Cantor eran como animales salvajes imposibles de contener. La teoría de conjuntos fue creada para domesticarlos y aclarar su naturaleza. Pero incluso una vez domesticados continuaron generando preguntas. Una crucial es la siguiente: ya sabemos que el tamaño de los números reales, también llamado el continuo, es mayor al de los números naturales, ¿pero cuán mayor? ¿Es el siguiente infinito? ¿O el siguiente siguiente? ¿O el siguiente siguiente siguiente…?

La respuesta, sorprendente, tardó casi un siglo: puede ser casi cualquiera, depende, dijeron a dúo Kurt Gödel y Paul Cohen. Si queremos decidir el tamaño del continuo debemos reforzar el aparato formal que usamos para domesticar los infinitos. Como si al tiempo existieran y los soñáramos. El único criterio a mano es nuestra percepción de lo correcto, que en matemática es casi siempre indistinguible de lo hermoso. Por eso algunos dicen que la teoría de conjuntos es ciencia pero también es juego y poesía.

Inconsistencia

Edward Nelson dice que la aritmética de Peano es inconsistente. La aritmética de Peano es nuestro intento más popular (en pie desde 1889) de listar de manera comprimida las leyes formales que regulan los números naturales. El teorema de incompletitud de Gödel implica que todo (¡todo!) intento de este tipo está destinado al fracaso de una de dos maneras posibles: la primera opción (la buena) es que nuestra colección sea incompleta y existan afirmaciones que no sean verdaderas ni falsas de acuerdo a los axiomas (i.e. que no se desprendan de ellos ni los contradigan). La segunda opción (la mala) es que la colección de reglas engendre una contradicción. Por supuesto, se esperaba que los axiomas propuestos por Peano fuesen simplemente incompletos, pero ahora Nelson asegura, como si fuera cualquier cosa, como si anunciara que su nieto necesita gafas, que implican una contradicción. En un documento disponible en su página web, Nelson describe su argumento a grandes rasgos. A continuación cito un párrafo:

If this were normal science, the proof that P is inconsistent could be written up rather quickly. But since this work calls for a paradigm shift in mathematics, it is essential that all details be developed fully. At present, I have written just over 100 pages beginning this. The current version is posted as a work in progress at http://www.math.princeton.edu/ ̃nelson/books.html, and the book will be updated from time to time. The proofs are automatically checked by a program I devised called qea (for quod est absurdum, since all the proofs are indirect). Most proof checkers require one to trust that the program is correct, something that is notoriously difficult to verify. But qea, from a very concise input, prints out full proofs that a mathematician can quickly check simply by inspection. To date there are 733 axioms, definitions, and theorems, and qea checked the work in 93 seconds of user time, writing to files 23 megabytes of full proofs that are available from hyperlinks in the book.

Muy probablemente la demostracion de Nelson es incorrecta (de no serlo implicaría un cambio radical de paradigma en la base misma de la matemática), pero sus motivaciones y metodologías bien valen la atención.