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Tercer triángulo

Dado un triángulo y un punto arbitrario dentro del triángulo, trace las perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por el punto elegido. Cada perpendicular corta uno de los lados en un punto. Use esos puntos para construir otro triángulo y repita el paso anterior usando el mismo punto. Así construirá un segundo triángulo. Si repite una vez más el procedimiento, obtendrá un tercer triángulo anidado. Se puede demostrar (Ejercicio: Demostrarlo) que este tercer triángulo es geométricamente semejante al triángulo inicial (es decir, el producto de transladarlo, rotarlo, reflejarlo y agrandarlo o achicarlo proporcionalmente — si sirve de algo, recuerde que dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos interiores). Aquí hay un ejemplo: Esto sale si su navegador necesita reconsiderar urgentemente su lugar en el mundo. Use Firefox o Chrome.

El triángulo rojo es semejante al triángulo negro. Con el mouse puede mover tanto los vértices del triángulo inicial como el punto interior para intentar convencerse de que la semejanza no depende ni del tipo de triángulo original ni del punto elegido.

Como mi javascript (aquí el código) es torpe, no he logrado encontrar una forma buena de evitar que el punto elegido quede fuera del triángulo (por cierto: si el punto se sale del marco, recargue (Ejercicio/Duda: ¿Cómo evitar que el punto abandone el marco?)). Sin embargo, jugando con él, noté que realmente el resultado es cierto incluso si el punto está afuera del triángulo inicial y la construcción se replantea usando las líneas que generan los lados del triángulo en lugar de los lados en sí (que es como lo había calculado, de cualquier modo). Haga la prueba: saque el punto del triángulo. Afuera del triángulo original el triángulo rojo crece aunque las limitaciones de espacio me impiden constatar si alcanza un tamaño máximo (o si sigue creciendo hasta obtener el tamaño del triángulo original en el límite, por ejemplo (o si crece ilimitadamente)). Si el punto se restringe de nuevo al triángulo original, hay un tamaño máximo posible para el tercer triángulo (Ejercicio: ¿Dónde se obtiene? ¿De qué depende? ¿Pasa lo mismo afuera?). Otra duda/ejercicio: ¿En qué puntos se logra que el tercer triángulo tenga exactamente la misma posición que el triángulo original (es decir, sólo transladado y escalado, sin rotarlo ni reflejarlo)?

Aparentemente, este fenómeno es cierto también para polígonos (asumo convexos (?)) de cualquier número de lados: con un polígono de N lados se requiere repetir el procedimiento N veces para obtener un polígono semejante al original. (Ejercicio: ¿Cuál es la demostración general?)

Encontré este resultado en Futility Closet, donde transcriben un poema de una tal Mary Pedoe que usa la construcción como inspiración:

Begin with any point called P
(That all-too-common name for points),
Whence, on three-sided ABC
We drop, to make right-angled joints,
Three several plumb-lines, whence ’tis clear
A new triangle should appear.

A ghostly Phoenix on its nest
Brooding a chick among the ashes,
ABC bears within its breast
A younger ABC (with dashes):
A figure destined, not to burn,
But to be dropped on in its turn.

By going through these motions thrice
We fashion two triangles more,
And call them ABC (dashed twice)
And thrice bedashed, but now we score
A chick indeed! Cry gully, gully!
(One moment! I’ll explain more fully.)

The fourth triangle ABC,
Though decadently small in size,
Presents a form that perfectly
Resembles, e’en to casual eyes
Its first progenitor. They are
In strict proportion similar.

Ejercicio: traducirlo.

Ultimátum

Ya le advertí a M. que si Laia dice “pierr-rri-i-itou” influenciada por el pianito de Fischer-Price que habla en “español” e inglés, lanzo ese aparato de mierda por el balcón.

Cañón-Aspiradora Cíclica

James Paterson está haciendo un video-diario y tutorial de programación muy detallado del desarrollo de un juguetito en HTML5/CSS/JS. Perfecto para programadores eternamente principiantes como yo. (Vía Creative Applications.)

Máquina

El juego autoimpuesto era hacer una copia virtual sencilla del Drawing Apparatus de Robert Howsare usando Processing para jugar con las especificaciones.

En esta versión (burda) se pueden cambiar los colores del trazo con los primeros cuatro sliders. Con los dos siguientes se puede modificar la razón entre las velocidades de rotación y la razón entre los radios de los discos. El último slider controla el grosor del trazo (aparentemente, la calidad del trazo cambia dependiendo de la definición de la pantalla.) El botón de pausa detiene y desaparece la máquina para apreciar el dibujo. No he logrado encontrar una manera elegante de hacer una función para reiniciar, así que por lo pronto lo mejor es recargar la página. (Adenda (25/03): ahora la posición inicial del segundo disco es aleatoria. Así no siempre arranca con un círculo.)

Desgraciadamente, los computadores no conciben los números irracionales, así que (creo que) todas las trayectorias son periódicas (Ejercicio: demostrar).

Arduino

(Dentro de mi proyecto de renovación de distracciones me compré un Arduino Uno de regalo de cumpleaños. Nunca había jugado con electrónica. Demasiado práctico para mí. Además mi motricidad fina no es la mejor. Todavía no entiendo bien la lógica de los circuítos pero la sencillez del lenguaje de programación (una versión minimal de C, parecería) facilita mucho las cosas. Quiero hacer juguetitos tontos con ánimo decorativo. Mi primer pequeño proyecto fue un contador de segundos en binario utilizando ocho lucecitas. El segundo es un medidor primitivo de intensidad luminosa utilizando una pantalla de cuatro dígitos y una fotoresistencia. Tengo todavía varios sensores y actuores (?) por probar. A los once años un juguete como este hubiera sido el paraíso. A los treinta y cinco es un pasatiempo más que digno.)

Gouf

MS-07B-3 GOUF CUSTOM
(Principality of Zeon Ground Battle Type Mobile Suit)