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lógica

El argumento inverso

Un problema frecuente entre los estudiantes que apenas se inician en sus cursos de matemática avanzada es el vicio del argumento inverso para demostrar cosas. Si quieren demostrar que una expresión es cierta, entonces inician la prueba con la expresión a demostrar y la desarrollan/transforman hasta que llegan a una expresión que conocen y saben verdadera. Luego cantan victoria.

Muchas veces el argumento inverso oculta una demostración genuina (y en ese sentido es útil), pero siempre existe el riesgo de que la cadena de implicaciones no sea bidireccional, en cuyo caso sólo se demuestra que una expresión conocida es una consecuencia formal de la expresión a demostrar. Si además se toma en cuenta que una afirmación falsa implica cualquier cosa, incluyendo afirmaciones verdaderas, entonces el argumento inverso puede terminar fácilmente validando expresiones falsas.

Mi impresión es que este vicio no es producto de dificultades lógicas arraigadas (casi todos los estudiantes entienden rápidamente cuál es el problema una vez alguien lo señala) sino de malas prácticas al escribir matemática promovidas por cursos enfocados en la mecanización de técnicas sin reflexión alguna sobre los procesos subyacentes. Si la escritura de matemáticas no se presenta/promueve como una explicación para alguien más (que debe entender el proceso sin contar con la presencia del autor) entonces la redacción predominante es la misma de las hojas de borrador, donde el argumento inverso es sin duda alguna una herramienta válida de exploración preliminar.

Modelos

La teoría de modelos explora la relación entre los lenguajes formales matemáticos y las estructuras abstractas de las que pretenden hablar. No todo lenguaje matemático es formal. La formalización es sólo una estrategia de juego entre muchas otras. Una de las ventajas de la formalización es que, al equiparar sintaxis y semántica, facilita la verificación y producción automática de argumentos. Otra es que permite capturar propiedades esenciales de las estructuras. Una desventaja es que es rígida en exceso: impone todo tipo de limitaciones de enfoque y aproximación. La teoría de modelos, sin embargo, no se concentra en desarrollar matemáticas a través de la formalización (empresa tradicionalmente monopolizada por personas con trastornos mentales serios) sino en estudiar consecuencias matemáticas de la (potencial) formalización. En particular, la teoría de modelos propone taxonomías y fisiologías de las estructuras matemáticas de acuerdo a diferentes filtros formales. La taxonomía se basa en la miopía natural de los lenguajes. La fisiología en su capacidad complementaria para nombrar y aislar. Si la teoría de modelos se pudiera aplicar abusivamente a los lenguajes naturales, intentaría responder preguntas como las siguientes: (1) ¿Cuántos mundos posibles son capturados por una descripción particular del mundo? (2) ¿Qué consecuencias físicas se desprenden del hecho de que dos mundos sean ligüísticamente indistinguibles? (3) ¿Qué objetos del mundo pueden ser nombrados? (4) ¿Qué quiere decir nombrar? (5) ¿Qué captura el nombre de un objeto? (6) ¿Cómo interactúan físicamente los objetos nombrables? (7) En general: ¿Cuál es el poder del lenguaje sobre la realidad que describe o narra? El teorema de Svenonius señala el carácter mutable de lo innombrable (Remember Lovecraft). El teorema de Beth establece una equivalencia entre lo nombrable y lo ineludible (Remember Perec). Si la teoría de modelos pudiera aplicarse abusívamente a los lenguajes naturales, sería la hermana maniaco-compulsiva de la (meta)literatura.

Teoría

Dado un lenguaje, una noción de verdad y una entidad en el universo acerca de la cual el lenguaje esté capacitado para hablar, la teoría de la entidad es la colección de afirmaciones en el lenguaje que son ciertas al respecto de la entidad de acuerdo a la noción de verdad elegida. Las teorías acorralan a la entidad tanto como el lenguaje lo permite. Si el lenguaje no tiene manera de hablar del color, entonces el color de la entidad no será capturado por la teoría y una entidad idéntica salvo por su color será indistinguible, bajo este lenguaje, de la original. Si el lenguaje puede aislar totalmente la entidad decimos que la entidad tiene un nombre. En tanto que todo lenguaje es semánticamente limitado, toda teoría de una entidad establece en general una mónada alrededor que es potencialmente cohabitada por otras entidades de la misma clase cuyas diferencias con la entidad dada son invisibles a las posibilidades expresivas del lenguaje. En esta ignorancia sistemática de diferencias particulares el lenguaje encuentra su debilidad y su poder. Que evidencie su debilidad es claro. Que al tiempo sea su fortaleza es consecuencia de que todo filtro que establezca equivalencias entre entidades en principio disímiles también establece, en el fondo, un modelo natural simplificado del universo basado en arquetipos sencillos y controlables, de repente estáticos, sin la incómoda variabilidad salvaje del universo vivo.