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matemática

Stan

Mi juguete favorito en el trabajo y por fuera del trabajo es Stan. Aquí un artículo introductorio recién publicado que se concentra en su interfaz de uso y aquí otro también reciente donde explican la intuición detrás de sus algoritmos de muestreo de distribuciones posteriores (la matemática asociada es, según he podido ver, bastante sofisticada). Durante este año quiero entender esa maquinaria mejor y si me da el tiempo intentar contribuir a alguno de sus proyectos circundantes.

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Hace tiempo que no asistía a una charla matemática. Todavía me duermo. Tal vez ahora incluso con más potencia, si es que se le puede llamar potencia a la pesadez del buen sueño. Creo que hice bien en dejar ese mundo. No tengo la paciencia.

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Es bonito este problema de álgebra elemental: si $x$ es un número tal que $$x + \frac{1}{x} = 1,$$ calcular $$x^N + \frac{1}{x^N}$$ para algún $N$ entero grandote e intimidante (digamos $2.345.871$).

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colegios distritales
Un abrebocas de algo que estoy haciendo ahora. Cada punto es un colegio distrital (oficial). Entre más oscuro el tono de azul, menor la mediana de los puntajes en matemática en Saber 11 (2013). Los colegios por concesión están demarcados con una corona naranja. Clic en el mapa para ver más grande.

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Estuve leyendo las primeras cartas de Memoria por correspondencia de Emma Reyes y creo que lo que más me ha sorprendido por lo pronto, más que nada porque jamás se me había pasado por la cabeza, es que hace unos cuarenta años las personas se escribieran cartas tan largas y completamente libres en cuanto a temática y énfasis. Cartas, por ejemplo, sobre una infancia lejana. Las cartas eran un artilugio de comunicación extraño que para ese momento no tenía la capacidad de competir con otros medios en cuanto a urgencia, así que es natural que se dedicara a conversaciones pausadas e íntimas cuyo único propósito era sostener relaciones personales en el tiempo pese a las distancias todavía brutales. Entre los matemáticos hasta hace muy poco, unos veintitantos años, todavía era bastante común la colaboración entre colegas por carta, cuyo ritmo se acomoda muy bien al modo de trabajo pausado que la matemática medio exige (los períodos de digestión y apropiación de nuevas ideas son prolongados). No me acuerdo dónde vi la forma como las cartas de Littlewood y Hardy van perdiendo progresivamente encabezados y cualquier tipo de formalismo epistolar hasta que finalmente se vuelven intervenciones sin preámbulos dedicadas enteramente a la matemática que intentaban desarrollar. Un detalle simpático es que las escribían aunque trabajaban en el mismo edificio y se encontraban casi a diario. En una de esas cartas, en medio de los cálculos, uno le cuenta al otro (no recuerdo quién a quién) que Ramanujan murió. En la respuesta el otro hace un comentario muy breve al respecto y continúa con los cálculos.

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El resumen ejecutivo de los datos de Colombia en PISA 2012 preparado por el Icfes se concentra en comparar a Colombia con otros países evaluados en diferentes variables. Un dato clave (p. 13) que sirve para poner este gráfico en perspectiva: entre todos los países evaluados, Colombia es el país donde la ventaja de los muchachos sobre las muchachas en matemática es la mayor y también (por si acaso quedan dudas) es el país donde la ventaja de las muchachas sobre los muchachos en lectura es la menor después de Albania. El machismo colombiano y sus consecuencias.

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Gráfica de libros en casa y la distribución de puntajes de los estudiantes colombianos en matemática y lectura:

libros
Clic para verla más grande

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Los libros de hojas de cartón duro son ideales para esta edad. Resisten perfecto el trato característico de la motricidad fina en desarrollo. Laia elige uno y me pide que lo leamos. A veces ella pasa las páginas. Me enseña los dibujos con el dedo. Pide explicaciones. Hace sus ruidos. Reconoce gatos, elefantes y niños. Otras veces nos acostamos uno al lado del otro y yo llevo el control del libro. No le basta con que le muestre el libro sino que quiere que se lo lea, lo que implica por lo general traducir pequeñas frases o palabras pues tenemos pocos libros en español. Traducir o inventármelas. Algunos libros, la mayoría, tienen mejores dibujos que palabras así que no me importa tener libertad a ese nivel. De todos modos poco a poco necesitaremos más libros en español para que ella pueda aprender a leer. Además del libro de Isol a Laia le gustan los libros del elefante Élmer de David McKee. Tenemos dos traducidos al español: uno sobre el clima y uno sobre los animales. También tenemos algunos de Chigüiro de Ivar Da Coll. Esos son de hojas de papel así que requieren más cuidado. Había uno de animales de hojas compuestas de algo parecido a espuma que ella esencialmente se comió durante la ansiedad por morder que acompaña el nacimiento de los primeros dientes. La edición de hojas duras de Olivia, de Ian Falconer, ha sido muy apreciada. Y The Big Book of Words and Pictures de Ole Könnecke es un tesoro al que siempre se puede regresar con gusto. También tenemos algunos libros baratos de dibujos que le permito deshojar libremente. Cada tanto le leo unas páginas de alguna novela de Roald Dahl o de la edición con comentarios de Martin Gardner de Alicia. Todavía no le llaman mucho la atención. Prefiere los dibujos coloridos.

The-Big-Book-of-Words-and-Pictures-Muiscal-Instruments

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Una serie más de gráficas de Pisa Colombia 2012 alrededor de una pregunta de autovaloración en matemática:

autovaloracion
En un eje su autovaloración y en el otro el puntaje que sacan en la prueba de matemática diferenciado por género.
autoevaluacion-genero
Fracción de muchachos y de muchachas en cada respuesta.
autovaloracion-total
Porcentaje en cada respuesta sin diferenciar por género.

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Fiebre de Laia y poca cabeza en general. Sigo mirando los resultados de Pisa. Esta es una de esas gráficas que siempre me impresionan:

puntajes de pisa colombia
Puntajes de matemática y lectura de todos los colombianos evaluados por Pisa 2012, con un código de color los diferencio por género.

Y otra que me parece graciosa:

numeros propios
Los números propios son un concepto inventado por los evaluadores. Incluyen esa pregunta para medir overclaiming (¿traducción?) de los estudiantes. Clic para verla grande.

En su defensa, no siempre son así de descarados (o de pronto “números propios” suena muy cercano a otros conceptos de uso común y los confunde):

escsubj
Clic para verla grande. De nuevo, la escala subjuntiva es un invento de los evaluadores.

Tercer triángulo

Dado un triángulo y un punto arbitrario dentro del triángulo, trace las perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por el punto elegido. Cada perpendicular corta uno de los lados en un punto. Use esos puntos para construir otro triángulo y repita el paso anterior usando el mismo punto. Así construirá un segundo triángulo. Si repite una vez más el procedimiento, obtendrá un tercer triángulo anidado. Se puede demostrar (Ejercicio: Demostrarlo) que este tercer triángulo es geométricamente semejante al triángulo inicial (es decir, el producto de transladarlo, rotarlo, reflejarlo y agrandarlo o achicarlo proporcionalmente — si sirve de algo, recuerde que dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos interiores). Aquí hay un ejemplo: Esto sale si su navegador necesita reconsiderar urgentemente su lugar en el mundo. Use Firefox o Chrome.

El triángulo rojo es semejante al triángulo negro. Con el mouse puede mover tanto los vértices del triángulo inicial como el punto interior para intentar convencerse de que la semejanza no depende ni del tipo de triángulo original ni del punto elegido.

Como mi javascript (aquí el código) es torpe, no he logrado encontrar una forma buena de evitar que el punto elegido quede fuera del triángulo (por cierto: si el punto se sale del marco, recargue (Ejercicio/Duda: ¿Cómo evitar que el punto abandone el marco?)). Sin embargo, jugando con él, noté que realmente el resultado es cierto incluso si el punto está afuera del triángulo inicial y la construcción se replantea usando las líneas que generan los lados del triángulo en lugar de los lados en sí (que es como lo había calculado, de cualquier modo). Haga la prueba: saque el punto del triángulo. Afuera del triángulo original el triángulo rojo crece aunque las limitaciones de espacio me impiden constatar si alcanza un tamaño máximo (o si sigue creciendo hasta obtener el tamaño del triángulo original en el límite, por ejemplo (o si crece ilimitadamente)). Si el punto se restringe de nuevo al triángulo original, hay un tamaño máximo posible para el tercer triángulo (Ejercicio: ¿Dónde se obtiene? ¿De qué depende? ¿Pasa lo mismo afuera?). Otra duda/ejercicio: ¿En qué puntos se logra que el tercer triángulo tenga exactamente la misma posición que el triángulo original (es decir, sólo transladado y escalado, sin rotarlo ni reflejarlo)?

Aparentemente, este fenómeno es cierto también para polígonos (asumo convexos (?)) de cualquier número de lados: con un polígono de N lados se requiere repetir el procedimiento N veces para obtener un polígono semejante al original. (Ejercicio: ¿Cuál es la demostración general?)

Encontré este resultado en Futility Closet, donde transcriben un poema de una tal Mary Pedoe que usa la construcción como inspiración:

Begin with any point called P
(That all-too-common name for points),
Whence, on three-sided ABC
We drop, to make right-angled joints,
Three several plumb-lines, whence ’tis clear
A new triangle should appear.

A ghostly Phoenix on its nest
Brooding a chick among the ashes,
ABC bears within its breast
A younger ABC (with dashes):
A figure destined, not to burn,
But to be dropped on in its turn.

By going through these motions thrice
We fashion two triangles more,
And call them ABC (dashed twice)
And thrice bedashed, but now we score
A chick indeed! Cry gully, gully!
(One moment! I’ll explain more fully.)

The fourth triangle ABC,
Though decadently small in size,
Presents a form that perfectly
Resembles, e’en to casual eyes
Its first progenitor. They are
In strict proportion similar.

Ejercicio: traducirlo.

Capicúas

Esta tarde escribí un cuaderno de iPython para jugar con números capicúas. La motivación fue este problema propuesto por Cédric Villani en su sección recién inaugurada de juegos matemáticos de Le Monde. (Loable el esfuerzo de Villani por promover personalmente la matemática entre la gente del común, por cierto. Y adorable su uso (francesísimo) de tablero y tiza para presentar y resolver los problemas. Cada vez me cae mejor.)

Ciencia y matemática

Ed Wilson habla en este artículo del uso concreto de matemática dentro del trabajo científico y la idea falsa de que los científicos requieren gran habilidad y conocimiento matemático. En realidad la matemática es casi siempre (exceptuando áreas muy específicas) una herramienta secundaria. Esto es particularmente evidente en biología:

The annals of theoretical biology are clogged with mathematical models that either can be safely ignored or, when tested, fail. Possibly no more than 10% have any lasting value. Only those linked solidly to knowledge of real living systems have much chance of being used.

Raíces

Las raíces anidadas (o contínuas) son sucesiones de términos de la forma: $$S_k = \sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_k}}}}.$$ Como es usual, si $S_k$ converge a $L$, entonces decimos que $$L=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2 +\sqrt{a_3 + \cdots+\sqrt{a_n+\cdots}}}}.$$

El ejemplo típico es $a_i=1$ para todo $i$. En ese caso se obtiene la expresión $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}.$$ Si sabemos que esta raíz anidada es convergente (hay varios métodos para concluir esto) y suponemos que su límite es $L$ entonces $$L=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}=\sqrt{1+L},$$ de donde se desprende que $L^2=1+L$ y por ende $$L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Cuando Ramanujan empezó a hacer matemática, enviaba preguntas a la revista de la sociedad matemática india. En 1911 propuso como problema encontrar el valor de $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}.$$ Esta es una raíz anidada donde (si no estoy mal) $a_1 = 1$ y $a_n=(n a_{n-1} )^2$ (para $n\geq 2$).

Un año más tarde, Ramanujan envió esta solución a la misma revista:

Primero que todo, defina $f(n)=n(n+2)$. Ahora note que $$\begin{eqnarray*} f(n) & = & n \sqrt{(n+2)^2} \\ & = & n\sqrt{n^2+4n+3+1} \\ & = &n\sqrt{1+(n+1)(n+3)} \\ &=& n\sqrt{1+f(n+1)}.\end{eqnarray*}$$ Por tanto, recursivamente, $$\begin{eqnarray*} f(n) &=& n\sqrt{1+f(n+1)}\\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}} \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}} \\ &=& \cdots \\ &=& n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}. \end{eqnarray*}$$

Cuando $n=1$, obtenemos $$f(1)= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}},$$ que es precisamente el valor que estamos buscando. Y sabemos que, por definición, $f(1) = 1 (1+2) = 3$.

Este es un problema difícil con una solución muy sencilla de presentar y apta para (casi) todo público. Mi duda didáctica es qué tanto se puede ofrecer como ayuda sin entregar la respuesta. O mejor: en qué punto la solución se vuelve de repente evidente (para un estudiante promedio de primer año de universidad, digamos).

Adenda: En el segundo ejercicio de esta tarea del curso de cálculo que dicté el verano pasado puse a los estudiantes a explorar la convergencia de otra de las famosas fórmulas de Ramanujan (creo que el problema proviene del libro de Spivak). El tercer apartado tomó mucho más trabajo del que pensaba. Tuve que ayudarles un poco a organizar los cálculos.

Topología de datos

Digamos que una muestra aleatoria de puntos es tomada de una cierta variedad topológica. En esta entrada y esta otra (y el artículo asociado) explican cómo inferir estadísticamente algunas propiedades topológicas (más que todo homológicas) de la variedad estudiando la muestra.

Demasiada felicidad

Estampilla rusa honrando a Sofia Kovalévskaya. Desgraciadamente, los rusos sólo reconocieron su valor cuando logró por sus propios medios hacerse a un lugar en la sociedad matemática europea.

La columna de hoy es una invitación a leer a la gran Alice Munro (y de paso hablar de Со́фья Васи́льевна Ковале́вская).

Alice Munro es una evangelista esencial de mi religión. Regalo sus libros como si fuera testigo de Jehová. Los compro a docenas, así estén repetidos, en la librería de usados del centro. Alice Munro es mi refugio, nada me falta.

Como complemento a la columna, recomiendo Dimension y Wenlock Edge, dos de los relatos compilados en Too Much Happiness (En el archivo de la New Yorker hay muchos más). Si los leen y luego de leerlos sienten que quieren gritar pero no saben por qué, me encantaría hablar de ellos en los comentarios. También podemos hablar de esta preocupante noticia.

Resultado de la última visita a la librería de usados del centro.