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matemática

El viaje de Alexander Grothendieck

La columna de hoy está dedicada a Alexander Grothendieck. Todo matemático joven tiene una época de fascinación con Grothendieck. La mía fue breve pero intensa. Su aporte matemático es excepcional y su biografía es, por decir lo menos, singular (no hubo espacio en la columna para mencionar que Grothendieck no tiene nacionalidad. Ser hijo de una pareja de judíos anarquistas a principios del siglo veinte tiene consecuencias.)

Como complemento a la columna, aquí está el informe de Grothendieck sobre su viaje a Hanoi, aquí una de las cartas que escribió para rechazar el premio Crafoord, aquí el texto de su conferencia Allons-nous continuer la recherche scientifique? y acá un perfil biográfico-filosófico-matemático de Grothendieck muy completo y en español escrito por Fernando Zalamea para su libro Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas.

Siempre me ha intrigado el contraste entre la valoración altísima de sus ideas matemáticas y el desprecio casi agresivo que recibieron sus posiciones políticas dentro de la misma academia que lo aclamaba. Muchos científicos pierden cualquier noción de objetividad cuando cuestionan la legitimidad/moralidad de sus medios de subsistencia. Esa agresividad sin duda contribuyó a que Grothendieck se alejara.

Alexander Grothendieck, 1951
SuperGrothendieck en 1951

Datos

Ayer terminé mis deberes para el curso de análisis de datos de Coursera. Me dejó insatisfecho. Sirvió, eso sí, como una introducción rápida a R. El contenido fue mal elegido, la improvisación reinó y el nivel de la exposición no era el mejor. Creo que el profesor no logró adecuar su estilo de enseñanza al formato. Pese a advertir varias veces sobre el riesgo de desconocer la matemática subyacente (en un diagrama llamó a esa aproximación “la zona peligrosa”), el curso se limitó a ofrecer recetas escuetas de algunas de las técnicas elementales disponibles sin mayor justificación matemática. Además, como los dos proyectos del curso debían ser evaluados por otros estudiantes, el énfasis del formulario de evaluación fue la forma de los reportes en lugar de la sustancia (lo que reforzaba la idea de que no se esperaba más que aplicar funciones mecánicamente). No lo más recomendable para un curso tan técnico. Tal vez el sistema de evaluación del curso de machine learning, basado en verificación automática del código que requerían los ejercicios, habría sido más adecuado al contenido (pretendido) de este curso. Me quedan dudas serias sobre la capacidad de esos cursos masivos en línea para ofrecer más que sobrevuelos superficiales cuando el material supera cierto nivel no muy alto de complejidad.

Este libro de Cosma Shalizi (pdf) parece una introducción mucho más apropiada al tema, o al menos más cercana al tipo de curso que me hubiera gustado tomar.

Olvidados

En un cuento cubano de ciencia ficción que leí los protagonistas descubren que el universo que habitan es simulado por una civilización en el futuro como ejercicio didáctico infantil. Cada iteración de la simulación se distribuye en cadenas de miles de millones de operaciones matemáticas que son asignadas a niños en toda la galaxia de acuerdo a su grado de dificultad. Los niños resuelven la operación y reportan por carta su resultado. Éste es verificado independientemente por otro niño en un ejercicio dual. Cuando todas las operaciones que componen una iteración han sido verificadas (proceso que toma muchos años), una milésima de segundo transcurre en el universo simulado. Alguna vez fue claro el propósito de la simulación pero hoy todos aquellos involucrados inicialmente en el proyecto están muertos. Los operarios de la máquina están convencidos de que se trata de un sistema automático de evaluación masiva. El nuevo visir de educación, recién desempacado de un postgrado en Finlandia, ha anunciado que la evaluación mecánica y deshumanizante debe ser abolida. Una semana después la máquina será desconectada.

El camino hacia el asombro

La columna de hoy le hace eco a esta charla que Federico Ardila dio en Bogotá en diciembre pasado sobre la importancia de la educación matemática en la escuela. En este problema hay dos frentes complementarios: por un lado está la detección, promoción y aprovechamiento del talento matemático disponible y por otro lado está la necesidad de subir el nivel general de la educación matemática y repensar la estrategia de enseñanza. Usualmente cuando a alguien le gusta la matemática (sea por talento innato o por cualquier otra razón) no requiere mayor estímulo para aprender (aunque sí tal vez para avanzar más allá de lo elemental y no perder el ánimo, cosa que hacen muy bien programas como las olimpiadas matemáticas y otros parecidos). La batalla dura es crear el gusto entre aquellos que no lo tienen de fábrica. Esta es una situación que todo maestro de cualquier área enfrenta regularmente: cómo lograr que los estudiantes aventajados se sientan impulsados y los demás reciban el apoyo que necesitan para avanzar y de paso apreciar lo que aprenden. Con frecuencia el maestro soluciona este problema ofreciendo un material genérico de nivel medio-alto, que no toma en cuenta las particularidades de sus estudiantes. Esto es algo que el sistema de educación masiva promueve con sus estándares rígidos de evaluación. El resultado de esta estrategia es nefasto en ambos frentes: los aventajados se aburren y la mayoría se pierde para siempre en dificultades que el maestro ni siquiera contempla como posibles. En matemática, el pénsum con énfasis en el formalismo temprano y la mecanización del manejo simbólico dificulta todavía más todo lo que he descrito. Tal vez un pénsum matemático escolar enfocado enteramente hacia la resolución de problemas específicos (que evolucionen a medida que son resueltos hacia grados cada vez más elaborados de abstracción justificada) y no hacia la adquisición directa de conceptos desprovistos de motivaciones sólidas contribuiría a hacer todo muchísimo más accesible y menos intimidante. Una primera tarea para los interesados sería pensar en los contenidos de un pénsum así y cómo implementarlo. A veces tengo la impresión de que por pretender enseñar tanto nadie está realmente aprendiendo nada.

Culto a la ecuación

La columna de hoy reseña un pequeño artículo sobre el impacto positivo (a ojos de semi-profanos) de intromisiones matemáticas (no necesariamente pertinentes) en artículos académicos. Esta reacción intimidada/complaciente ante la ecuación incomprensible se puede explicar como una consecuencia de la relación acrítica con el discurso científico que algunas veces los mismos científicos promueven (o al menos no contienen). Puede ser matemática como puede ser neurociencia. En otras ocasiones he hablado acá en el blog de la importancia de que los científicos (como comunidad, tal vez) tomen en sus manos la divulgación de su trabajo. Este ejercicio de divulgación directa acerca a la gente a la labor científica y le permite ganar perspectiva sobre su funcionamiento y metodologías. Aunque el discurso publicitario efectivo tal vez sea útil en el corto plazo para conseguir fondos, a la ciencia como empresa humana no le conviene ser a largo plazo indistinguible de la charlatanería pseudocientífica que abunda. La mejor manera de combatir esta tendencia es acercar los científicos a la gente y promover el cuestionamiento de su propio trabajo. No se trata de que todos se conviertan en expertos sino de que se difunda una comprensión mínima de las dinámicas de la ciencia y su valor difuso de verdad (que hace que la duda sea su principio esencial). La fuerza de la ciencia, de cierta manera, radica en exponer abiertamente sus limitaciones. Depender de un periodismo cada vez en peor estado y ansioso de espectacularidad vendible que le permita competir con los flujos de las redes sociales no parece una apuesta sensata.

*

Ernesto Sabato, que antes de dedicarse a la literatura estudió física, tiene un ensayo sobre la oscuridad científica como herramienta de dominación al que vuelvo recurrentemente desde hace tiempo. Sus observaciones hechas en 1955 son todavía vigentes hoy. Para cerrar, un aparte:

La raíz de esta falacia reside en que nuestra civilización está dominada por la cantidad y ha terminado por parecernos que lo único real es lo cuantitativo, siendo lo demás pura y engañosa ilusión de nuestros sentidos. Pero como la ley matemática confiere poder, todos creyeron que los matemáticos y los físicos tenían la clave de la realidad. Y los adoraron. Tanto más cuanto menos los entendían.

Paradojas antinarcóticas

La columna de hoy habla de paradojas de la llamada guerra contra las drogas y señala una inconsistencia flagrante en políticas de control de los cultivos de acuerdo a la nacionalildad de quien arriesga el pellejo. La entrevista al general McChrystal está acá. Vale mucho la pena. Y aquí hay un intento de racionalizar la paradoja de Banach-Tarski en términos de estructura molecular para que tolerarla sea menos conflictivo. Del documental de Romeo Langlois y la muerte de José Cortez escribí algo muy corto hace unos meses. Ahí también se puede ver.

Obviamente las contradicciones que señalo en la columna no son ni mucho menos las únicas de esa estrategia bélica fallida para supuestamente combatir el consumo de drogas.

Máquinas para matar

La columna de hoy habla sobre los orígenes bélicos del computador electrónico digital. La referencia principal es Turing’s Cathedral, de George Dyson, donde me enteré del proyecto de Barricelli. Me gusta esa dicotomía: los mismos computadores que permitieron el desarrollo de la bomba termonuclear sostenían también un proyecto para generar vida artificial. Barricelli, por cierto, trabajaba como voluntario, sin un salario. Y su proyecto ocupaba los tiempos libres del computador. Nunca fue totalmente oficial. Aquí hay un artículo breve de Dyson para Make Magazine donde resume la historia. Y aquí hay un artículo largo (y un poco confuso) sobre la historia de los computadores que Von Neumann y su equipo montaron en Princeton. Von Neumann es un personaje que siempre me ha intrigado mucho. Es impresionante la cantidad de áreas matemáticas (tanto “aplicadas” como “puras”) donde hizo aportes significativos.

El computador Maniac y sus operarias
El computador de Princeton, apodado cariñosamente MANIAC. Igual el ENIAC, era operado mayoritariamente por mujeres. Más fotos.

Contar hasta el final

Este artículo apareció en mayo en una revista que la Universidad Nacional distribuyó durante la feria del libro de Bogotá. Lo pego acá para conmemorar que el siete de diciembre de 1873 Cantor le escribió una carta a Dedekind donde demostraba que había más números reales que naturales (buena parte de la matemática de esa época (¡y hasta hace muy poco!) se oficializaba y desarrollaba en intercambios epistolares).

Números para contar y números para medir. Los primeros los aprendemos temprano, casi sin darnos cuenta, jugando con los dedos de las manos. A esos los llamamos números naturales. Los segundos son más misteriosos. A los griegos los obsesionaban. Un cuadrado que medía un metro por cada lado tenía una diagonal cuya magnitud en metros era de cierta manera imposible de atrapar: no era ni número natural ni división de números naturales. Era algo distinto. Lo mismo con el perímetro de un círculo de diámetro uno, que es a lo que ahora llamamos π. Había algo extraño con esos números pero aparecían sin esfuerzo por ahí, así que si algo estaba mal no eran ellos sino nuestra concepción ingenua de lo que los números podían ser. Por eso a los números para medir los llamamos números reales, porque son ineludibles. Si en una línea recta decidimos quién es cero y quién es uno, a cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

Los números naturales sirven para contar colecciones de cosas, también llamadas conjuntos. Basta asignar a cada cosa números naturales en orden hasta que se acaben las cosas o los números. Si se acaban las cosas, el último número que utilizamos nos dice cuántas son. Si se acaban los números, decimos que el conjunto es infinito, pero esta es una respuesta insatisfactoria. Sería ideal poder contar hasta el final. Eso es más difícil. Los números naturales no son suficientes. Necesitamos más.

Tomemos por ejemplo los números reales. Ahora intentemos contarlos. Agarremos números reales uno a uno y a cada número real asignémosle un número natural. Hagan el intento. ¿Será que si somos suficientemente cuidadosos podemos agotar los números reales contándolos con números naturales? A simple vista parecería que no. En la recta los números naturales son puntos aislados, muy pocos comparados con la multitud de puntos posibles. Pero tal vez haya una manera ingeniosa de emparejarlos, ¿por qué no? ¿Acaso cuántos infinitos hay?

Podría decirse que esa es la pregunta fundacional de la teoría de conjuntos, un área de la matemática que surgió con los trabajos de Georg Cantor a finales del siglo diecinueve.

Cantor quería contar aplicaciones repetitivas de un cierto procedimiento y notó preocupado que cuando se acababan los números naturales todavía existía la oportunidad de ejecutar el procedimiento una vez más. Tal vez otros habían llegado antes a la misma situación pero no se habían atrevido a dar el paso por puro vértigo. Cantor no dudó, y con este paso abrió la puerta a una serie de descubrimientos que revolucionaron la matemática y la filosofía de su tiempo.

Gracias a Cantor ahora sabemos que es imposible contar los números reales usando números naturales: tienen tamaños infinitos estrictamente distintos. También sabemos que hay infinitos tamaños infinitos, apilados unos sobre otros en una columna interminable que sirven para contar el tamaño de cualquier conjunto. Estudiamos los infinitos por lo mismo que estudiamos los árboles. Están ahí, no podemos ignorarlos.

Kurt Gödel es el niño sentado a la derecha.

Ese es apenas el principio de la historia. Los infinitos de Cantor eran como animales salvajes imposibles de contener. La teoría de conjuntos fue creada para domesticarlos y aclarar su naturaleza. Pero incluso una vez domesticados continuaron generando preguntas. Una crucial es la siguiente: ya sabemos que el tamaño de los números reales, también llamado el continuo, es mayor al de los números naturales, ¿pero cuán mayor? ¿Es el siguiente infinito? ¿O el siguiente siguiente? ¿O el siguiente siguiente siguiente…?

La respuesta, sorprendente, tardó casi un siglo: puede ser casi cualquiera, depende, dijeron a dúo Kurt Gödel y Paul Cohen. Si queremos decidir el tamaño del continuo debemos reforzar el aparato formal que usamos para domesticar los infinitos. Como si al tiempo existieran y los soñáramos. El único criterio a mano es nuestra percepción de lo correcto, que en matemática es casi siempre indistinguible de lo hermoso. Por eso algunos dicen que la teoría de conjuntos es ciencia pero también es juego y poesía.

Funciones que se rompen

Andrés Villaveces soltó en twitter este ejemplo de una función cuyo gráfico tiene una apariencia bastante aburrida y suave pero en la segunda derivada se enloquece: $$f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^54\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$$

No sé de dónde lo sacó.

Aquí un cuaderno de iPython (cada vez me gustan más) utilizando Sympy (sus debilidades a la hora de integrarse con numpy me dejaron algo insatisfecho, por cierto) para entender mejor lo que pasa. Santiago Ortiz sugirió que la clave del fenómeno es el $k^5$ en el denominador. Según él, su presencia “permite que haya muchísimas oscilaciones de alta frecuencia pero de muy baja amplitud”. Luego de jugar con las funciones no me queda del todo claro: si en lugar de $k^5$ ponemos un $k^3$ la curva original todavía es suave pero ya la primera derivada luce bastante ruidosa. Por otro lado, si en lugar de $k^5$ ponemos, digamos, $k^{10}$, las tres gráficas se suavizan. La vaina es bien sutil.

Aquí la función es $f(x)=\sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(2\pi k^2 x)}{k^34\pi^2} +\frac{x^2}{2k}.$

Indecisión

La paradoja de Monty Hall es un ejemplo clásico de contraintuitividad de la noción de probabilidad. En un programa de concurso presentado por Monty Hall, el concursante debe elegir una de tres puertas posibles. Detrás de una de las tres puertas se oculta un premio. Las otras dos puertas conducen al vacío. El concursante elige una de las tres puertas de acuerdo a su intuición extrasensorial pero luego, antes de revelar el premio, Monty Hall abre una de las otras dos puertas restantes y detrás de ella no hay nada (sea lo que sea que haya elegido el jugador, siempre puede hacer esto). Una vez ahí, para amplificar el drama, Hall le pregunta al jugador si quiere cambiar de puerta. Sorprendentemente, aceptar la propuesta de Hall es la mejor estrategia.

¿La razón? Una manera sencilla de verlo es imaginar dos jugadores. Ambos inicialmente eligen la misma puerta pero mientras el primero se sostiene en su decisión el segundo no. El primero gana si la primera puerta elegida oculta el premio, es decir, tiene una probabilidad en tres. Note, además, que ese es precisamente el único caso (de tres) en el que el segundo pierde. O sea, el segundo gana con una probabilidad de dos tercios. La liberación de información aparentemente vacía beneficia al segundo jugador.

La pseudomoraleja para la vida de la paradoja de Monty Hall es intrigante: si usted enfrenta más de dos alternativas dudosas y una vez la decisión ha sido tomada pero antes de ejecutarla alguien o algo le ofrece una demostración concluyente de que otra opción (una que ya había descartado con duda) debía ser sin duda descartada, conviene desechar (o al menos reconsiderar) la decisión tomada.

Por eso yo nunca decido nada. Prefiero esperar a que todo se descarte por su propio peso.

Nuestra historia de amor

En su blog, Arturo escribió sobre su relación de amor-odio con la matemática. Son cinco capítulos (1, 2, 3, 4 y 5). En el tercero (titulado Idilio) hay un breve cameo de mi yo más joven, socialmente inepto e idealista:

Con Javier montamos un grupo de estudio de geometría algebraica sin profesores. Pegamos avisos en el edificio de matemáticas citando a reuniones semanales. Logramos una convocatoria de tres personas: Javier, Oscar y yo. En los letreros nos escribieron cosas como “sapos reglados”. Quería tanto a las matemáticas, a mi nueva novia, que no tenía problema en compartirla con Javier y el malparido no fue capaz de darme un abrazo cuando se fue a hacer su doctorado hace ya más de diez años. No lo he visto desde entonces y no sé por qué lo quiero. No es que la gente del edificio de matemáticas de la Nacional se caracterice por sus grandes habilidades sociales tampoco.

A Arturo lo conocí dentro de ese contexto idílico, cuando estaba(mos) volcado(s) a aprender matemática con entusiasmo (aunque en la práctica yo le dedicara muchas más horas semanales a los juegos de rol). Nuestro primer curso juntos fue álgebra lineal. Acababa de regresar del ejército. Arturo era uno de los mejores del grupo junto a Javier (Solano) y Freddy (Hernández) (hoy ambos trabajan como profesores en universidades en Brasil). A partir de ahí vimos juntos al menos un curso por semestre por unos tres años (incluyendo uno inolvidable con Alonso Takahashi y también el curso de lógica donde conocimos a Andrés (Villaveces)) hasta que Arturo, de un momento para otro, desapareció. En su blog explica bien por qué. Yo lo sospechaba, pero él era muy reservado con respecto a su vida personal y creo que la consideraba de cierta manera incompatible con nuestra historia de amor amistad (asociada inevitablemente a estudiar heteronormativamente). Para el momento cuando me gradué de la universidad sabía muy poco de su paradero. Luego de que me fui retomó su trabajo final y se graduó. Varios años más tarde, ya en Estados Unidos, busqué información sobre él y encontré su dirección de correo electrónico en Los Andes, donde dictaba clase. Entonces le escribí. Hace unos trece años cortos que no lo veo en persona.

Finalmente aprendí los fundamentos de geometría algebraica en Urbana, en dos cursos muy regulares que me forzaron a las malas a hacer incontables ejercicios (estos sí muy provechosos) del libro de Hartshorne (en mi copia, el margen negro por el uso delimita claramente el cuarto escaso que avancé en ese libro) y un curso muy bueno que tomé tal vez demasiado tarde con Dror Varolin, donde miramos con mucho cuidado (y haciendo muchos cálculos iluminadores) las conexiones entre análisis complejo y curvas algebraicas (sospecho que de haberlo tomado más temprano me hubiera dedicado a la geometría compleja). En los intermedios leí capítulos del libro de curvas elípticas de Silverman y el libro de grupos algebraicos lineales de Humphreys, pero nunca le puse el suficiente empeño para avanzar más allá. Pese a todo eso, a estas alturas lo único que puedo acreditar es comprensión muy general de la terminología y maquinaria más básica. Eso sí, me sigue encantando.

Y los abrazos ya no me cuestan tanto.

El bazar invisible

La ruta de la seda es un mercado abierto en línea de sustancias prohibidas y otras delicias basado en una combinación de métodos criptográficos. En la columna de hoy explico a grandes rasgos (i.e., en 1900 carácteres) cómo funciona y por qué es prácticamente imposible identificar a sus administradores, vendedores y compradores ni detectar/registrar las transacciones concretas que se realicen a través de la página. Estas propiedades lo blindan contra procesos judiciales (y de paso evidencian el absurdo de la tal guerra contra las drogas). Algunos enlaces:

  • Página de La ruta de la seda en Wikipedia. (Creo que el enlace que tienen ahí está desactualizado.)
  • La página sólo existe (y es accesible) dentro de Tor.
  • La moneda que utiliza es Bitcoin. La lentitud obligada de sus transacciones la hace ineficiente en casi cualquier otro contexto.
  • El intercambio de información sensible entre vendedores, compradores y administradores se establece bajo el protocolo criptográfico PGP.
  • Este artículo de Nicolas Christin analiza la economía anónima e invisible de La ruta de la seda utilizando la información pública que ofrece la página. Al cierre sugiere estrategias para sabotearla.
  • Página de información sobre DMT en Erowid. El DMT es un portal de acceso a la dimensión de los elfos máquina.

Hay otros mundos

Montreal barrio a barrio en clave pseudomaya ¶ Jamás una pregunta tan vaga había tenido una respuesta tan (extrañamente) contundente ¶ Terence Tao promueve/defiende el poder de transferencia de la teoría de modelos (y aquí el artículo (pdf) de Shin Mochizuki donde supuestamente prueba la conjetura ABC (pdf)) ¶ Todas las fechas son recurrentes, pero hay unas más recurrentes que otras ¶ Tal vez la pelea contra Sergio Martínez desenmascare a la construcción mediática apodada Julio César Chávez Junior ¶ El “día del amor y la amistad” los homicidios se duplican en Bogotá (con respecto al promedio, supongo) ¶ Para demostrar el teorema fundamental del álgebra sólo se necesita álgebra lineal (pdf) ¶ Reporte final del accidente del vuelo AF447 (atención especial merece la transcripción (pdf) de la conversación entre los pilotos) ¶ Otra novela protagonizada por matemáticos ensimismados ¶ Qué seria es la revista Corónica ¶ Parece que las tetas no resuelven nada ¶ Se suponía que los complejos habitacionales serían la solución a las (temidas) villas porteñas ¶ Y a Jorge Salavert no lo convenció Ejército Enemigo.

“El problema es que todo es increíble” (Vía Colossal.)

Las series poderosas

Con el teorema del valor medio es sencillo demostrar que $$e^x>x+1$$ para todo $x > 0$. Pero no es inmediato. A los estudiantes sin experiencia previa les cuesta muchísimo seguir argumentos que no están encadenados por igualdades o donde sea necesario tomar elecciones y confeccionar funciones. En cambio, si se conoce la representación con series de potencias de $e^x$ el problema se disuelve por completo, pues la serie de potencias de $e^x-x-1$ resulta ser $$\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!},$$ que es claramente positiva para $x>0$.

Otro: intente demostrar que $$\int_1^\infty \frac{e^{-x^2}}{x}\, dx$$ converge. Sin series de potencias, el camino más sencillo es una comparación con algo como $$\int_1^\infty xe^{-x^2}\, dx.$$ Con series de potencias, creo, llegar a la conclusión toma una línea de cálculos directos más una nota, si acaso, explicando por qué se puede integrar término a término la serie.

Otro más (y un clásico): evalúe $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

No deja de sorpenderme la cantidad de problemas de cálculo elemental con pretensión conceptual que se vuelven mecanizables hasta que parecen casi vacíos con tres series de potencias bien recordadas y un par de teoremas no muy complicados sobre la solidez (bajo manipulaciones varias) de sus respectivas convergencias.

La meticulosa confección del asombro

Lo siguiente parece sadismo, pero en realidad es didáctica afilada.

En su segunda tarea del curso, recién iniciados en el arte sutil de las sucesiones y las series, los estudiantes recibieron la misión de calcular el límite de $$\sum_{n=1}^\infty nx^n,$$ para $|x|<1$. En este momento, el único método a su disposición es la fuerza bruta: calcular sumas parciales y rezarle con convicción a Shiva, también llamado El Destructor, para que los guíe. Con un poco de esfuerzo, sin embargo, la estrategia utilizada con la serie geométrica general da resultado. Para estudiantes de primer año con un curso de cálculo diferencial de bajísimo nivel, este es un ejercicio medianamente complicado. Es frustrante y puede ser confuso si la notación no es cuidadosa. Por lo mismo, su conquista es gratificante. El ejercicio está en la tarea para garantizar el sufrimiento lúdico que requiere por definición un cálculo "de honores". También está ahí para crear el momento dramático de esta semana y, tal vez, la ansiada sensación de ganancia. Hoy, usando la recién demostrada prueba de la razón para convergencia absoluta de series, es fácil ver que la serie de arriba converge absolutamente para $|x|<1$ (y diverge en otro caso). Una vez ahí les recordé que la prueba de convergencia no nos dice nada sobre el valor de la serie pero que, afortunada o desgraciadamente, esa es su tarea para este miércoles. Mañana definiré las series de potencias y jugaré con radios de convergencia. Al final enunciaré sin demostración (tal vez refiera al Spivak a los curiosos) el resultado que reza que una serie de potencias puede ser derivada (o integrada) término a término en su intervalo de convergencia. El miércoles, luego de que entreguen la tarea, como una manera de ilustrar la representación de funciones utilizando series de potencias, tomaré la bien conocida $$\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x},$$ para $|x|<1$. Luego, como si fuera cualquier cosa, calcularé la derivada a ambos lados y multiplicaré por $x$. Me van a odiar.